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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
la séquence 0, 1, 2, 3). Les autres éléments sont identiquement nuls. Par conséquent,
les éléments non-nuls étant nécessairement associés à 1 indice temporel et 3 indices
spatiaux, il vient immédiatement e
lmrs = −e lmrs .
Sont rassemblées dans le tableau (.1) les matrices relatives à quelques tenseurs
utiles pour le développement de l’électrodynamique des milieux matériels (cf.
§2.2.2).
A.4 COORDONNÉES CURVILIGNES
Dans le cadre de l’étude d’objets présentant des propriétés de symétrie particulières
(symétrie de révolution), il est naturel de chercher à décrire les lois de la physique
en utilisant un paramétrage spatial naturellement adapté à la géométrie considérée.
Comparé aux coordonnées rectilignes du système cartésien, le choix d’un système
de coordonnées curvilignes adapté permettra alors de simplifier sensiblement la formulation des équations, leur résolution ainsi que l’exploitation pratique des résultats
obtenus.
A.4.1 Définition
Partant d’un système de coordonnées rectilignes
x
l
relatives à un repère orthonormé
O, e
(o)
l
d’un espace affine E n , il est possible de définir des coordonnées
curvilignes
u
r
telles que :
x
l = x
l
u
1 , u
2 , . . . , u
n
(.57)
Ces n fonctions étant telles que le jacobien
∂x l
∂u r
est non nul (de même que
∂u r
∂x l
)
dans le domaine de variation considéré, il est également possible d’exprimer les coordonnées curvilignes en fonction des variables initiales :
u
r = u
r
x
1 , x
2 , . . . , x
n
(.58)
À partir de ce premier jeu de coordonnées curvilignes, on pourra en définir de
nouvelles en posant :
u
l = u
l
u
1 , u
2 , . . . , u
n
⇔ u
r = u
r
u
1 , u
2 , . . . , u
n
(.59)
avec
∂u l
∂u r
= 0 et
∂u r
∂u l
= 0
Dans le cas de l’espace à trois dimensions rapporté à un repère cartésien orthonormé
O, e
(o)
1 , e
(o)
2 , e
(o)
3
, on peut considérer à titre d’exemple le système de coordonnées cylindriques
u
1 = r , u
2 = u, u
3 = z
. Très utile en particulier pour l’étude
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
la séquence 0, 1, 2, 3). Les autres éléments sont identiquement nuls. Par conséquent,
les éléments non-nuls étant nécessairement associés à 1 indice temporel et 3 indices
spatiaux, il vient immédiatement e
lmrs = −e lmrs .
Sont rassemblées dans le tableau (.1) les matrices relatives à quelques tenseurs
utiles pour le développement de l’électrodynamique des milieux matériels (cf.
§2.2.2).
A.4 COORDONNÉES CURVILIGNES
Dans le cadre de l’étude d’objets présentant des propriétés de symétrie particulières
(symétrie de révolution), il est naturel de chercher à décrire les lois de la physique
en utilisant un paramétrage spatial naturellement adapté à la géométrie considérée.
Comparé aux coordonnées rectilignes du système cartésien, le choix d’un système
de coordonnées curvilignes adapté permettra alors de simplifier sensiblement la formulation des équations, leur résolution ainsi que l’exploitation pratique des résultats
obtenus.
A.4.1 Définition
Partant d’un système de coordonnées rectilignes
x
l
relatives à un repère orthonormé
O, e
(o)
l
d’un espace affine E n , il est possible de définir des coordonnées
curvilignes
u
r
telles que :
x
l = x
l
u
1 , u
2 , . . . , u
n
(.57)
Ces n fonctions étant telles que le jacobien
∂x l
∂u r
est non nul (de même que
∂u r
∂x l
)
dans le domaine de variation considéré, il est également possible d’exprimer les coordonnées curvilignes en fonction des variables initiales :
u
r = u
r
x
1 , x
2 , . . . , x
n
(.58)
À partir de ce premier jeu de coordonnées curvilignes, on pourra en définir de
nouvelles en posant :
u
l = u
l
u
1 , u
2 , . . . , u
n
⇔ u
r = u
r
u
1 , u
2 , . . . , u
n
(.59)
avec
∂u l
∂u r
= 0 et
∂u r
∂u l
= 0
Dans le cas de l’espace à trois dimensions rapporté à un repère cartésien orthonormé
O, e
(o)
1 , e
(o)
2 , e
(o)
3
, on peut considérer à titre d’exemple le système de coordonnées cylindriques
u
1 = r , u
2 = u, u
3 = z
. Très utile en particulier pour l’étude