A.3 Introduction aux tenseurs
237
U
01 = −U
0
1 ) tandis que sa valeur se conserve dans le cas d’un indice temporel
(U
30 = U
3
0 ).
Tableau .1 Définition des principaux tenseurs du champ électromagnétique
F lm
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−
Ex
c
−
Ey
c
−
Ez
c
Ex
c
0
−Bz
By
Ey
c
Bz
0
−Bx
Ez
c
−By
Bx
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
E
c
, B
(tenseur du champ électromagnétique dans le vide)
F
lm
∗
=
1
2
e lmrs Frs
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−Bx
−By
−Bz
Bx
0
Ez
c
−
Ey
c
By −
Ez
c
0
Ex
c
Bz
Ey
c
−
Ex
c
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
B, −
E
c
(tenseur adjoint du champ électromagnétique dans le vide)
G lm
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0
−cDx −cDy −cDz
cDx
0
−Hz
Hy
cDy
Hz
0
−Hx
cDz
−Hy
Hx
0
⎞
⎟
⎟
⎠ = (cD, H)
(tenseur du champ électromagnétique dans la matière)
M lm
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
−cPx −cPy −cPz
cPx
0
Jz
m 0
−
Jy
m 0
cPy −
Jz
m 0
0
Jx
m 0
cPz
Jy
m 0
−
Jx
m 0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
=
cP, −
J
m 0
(tenseur des moments)
Enfin, un tenseur particulièrement utile en électrodynamique relativiste correspond
au tenseur d’ordre 4 complètement antisymétrique e
lmrs . Généralisant le symbole
d’antisymétrie introduit à la section A.1.2, il comporte 12 éléments égaux à +1 (pour
des indices correspondant à une permutation paire de la séquence 0, 1, 2, 3), et 12
éléments égaux à −1 (pour des indices correspondant à une permutation impaire de