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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
avec
v
1 = v x , v
2 = v y , v
3 = v z
.
Rangées sous la forme d’une matrice uni-colonne, les quantités v x , v y , v z constituent les éléments d’un pseudo-vecteur V, adjoint du tenseur antisymétrique V
i
k . La
dérivée du vecteur x prend alors la forme classique d’un produit vectoriel, conformément à la relation bien connue en mécanique du solide :
dx
dt
= V ∧ x
(.55)
Soulignons que la grandeur V n’est pas assujettie aux mêmes lois de transformation que celles qui caractérisent les « vrais » vecteurs (d’où la dénomination de
pseudo-vecteur). On remarquera en effet qu’un changement de repère portant, par
exemple, sur le sens de l’axe des x (les deux autres axes conservant leur orientation)
conduit par principe à une inversion de signe des composantes selon Ox des vrais
vecteurs x et
dx
dt
, sans que ne soient affectées leurs composantes selon Oy et Oz. En
vertu de la relation (.53), ces règles de transformation imposent que les composantes
de V varient quant à elles en sens contraire, v y et v z changeant de signe tandis que
celui de v x se conserve (V se transforme en l’opposé de son symétrique dans la réflexion d’espace considérée). Ainsi, l’écriture « vectorielle » associée à la relation
(.55) dépend implicitement d’une convention d’orientation des axes du repère. De ce
fait, on aura souvent recours à diverses astuces pour exploiter correctement ce type de
formulation (« règle des trois doigts », « règle du tire-bouchon », etc.). En revanche,
l’écriture tensorielle correspondant à la relation (.49) traduit une loi générale, indépendante des conventions d’orientation adoptées pour le système de référence.
A.3.6 Cas particulier de la relativité restreinte
Dans le contexte de l’espace à quatre dimensions muni de la métrique définie par
(.35), on montre qu’un tenseur d’ordre 2 antisymétrique peut se mettre sous la forme :
U
lm
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0 −v x −v y −v z
v x
0
−w z w y
v y w z
0
−w x
v z −w y w x
0
⎞
⎟
⎟
⎠ = (v, w)
(.56)
où v désigne un vecteur (vrai) de l’espace à trois dimensions et w un pseudovecteur.
Tel est le cas du tenseur champ électromagnétique F
lm =
E
c
, B
considéré à la
section (2.1), tenseur dont les composantes ont trait d’une part au champ électrique
E (vrai vecteur de l’espace à trois dimensions) et, d’autre part, au champ magnétique
B (pseudo-vecteur).
À l’instar des règles établies pour les vecteurs à la section (A.2.6), l’abaissement ou
l’élévation d’un indice spatial change le signe du terme correspondant (par exemple :
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
avec
v
1 = v x , v
2 = v y , v
3 = v z
.
Rangées sous la forme d’une matrice uni-colonne, les quantités v x , v y , v z constituent les éléments d’un pseudo-vecteur V, adjoint du tenseur antisymétrique V
i
k . La
dérivée du vecteur x prend alors la forme classique d’un produit vectoriel, conformément à la relation bien connue en mécanique du solide :
dx
dt
= V ∧ x
(.55)
Soulignons que la grandeur V n’est pas assujettie aux mêmes lois de transformation que celles qui caractérisent les « vrais » vecteurs (d’où la dénomination de
pseudo-vecteur). On remarquera en effet qu’un changement de repère portant, par
exemple, sur le sens de l’axe des x (les deux autres axes conservant leur orientation)
conduit par principe à une inversion de signe des composantes selon Ox des vrais
vecteurs x et
dx
dt
, sans que ne soient affectées leurs composantes selon Oy et Oz. En
vertu de la relation (.53), ces règles de transformation imposent que les composantes
de V varient quant à elles en sens contraire, v y et v z changeant de signe tandis que
celui de v x se conserve (V se transforme en l’opposé de son symétrique dans la réflexion d’espace considérée). Ainsi, l’écriture « vectorielle » associée à la relation
(.55) dépend implicitement d’une convention d’orientation des axes du repère. De ce
fait, on aura souvent recours à diverses astuces pour exploiter correctement ce type de
formulation (« règle des trois doigts », « règle du tire-bouchon », etc.). En revanche,
l’écriture tensorielle correspondant à la relation (.49) traduit une loi générale, indépendante des conventions d’orientation adoptées pour le système de référence.
A.3.6 Cas particulier de la relativité restreinte
Dans le contexte de l’espace à quatre dimensions muni de la métrique définie par
(.35), on montre qu’un tenseur d’ordre 2 antisymétrique peut se mettre sous la forme :
U
lm
=
⎛
⎜
⎜
⎝
0 −v x −v y −v z
v x
0
−w z w y
v y w z
0
−w x
v z −w y w x
0
⎞
⎟
⎟
⎠ = (v, w)
(.56)
où v désigne un vecteur (vrai) de l’espace à trois dimensions et w un pseudovecteur.
Tel est le cas du tenseur champ électromagnétique F
lm =
E
c
, B
considéré à la
section (2.1), tenseur dont les composantes ont trait d’une part au champ électrique
E (vrai vecteur de l’espace à trois dimensions) et, d’autre part, au champ magnétique
B (pseudo-vecteur).
À l’instar des règles établies pour les vecteurs à la section (A.2.6), l’abaissement ou
l’élévation d’un indice spatial change le signe du terme correspondant (par exemple :