A.3 Introduction aux tenseurs
235
point M ayant pour coordonnées
x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
dans un repère fixe, ce
tenseur est défini par :
dx i
dt
= V
i
k x
k
(.49)
La norme de OM restant constante au cours du temps (solide indéformable), il
vient :
d
dt
x i x
i
= x i
dx i
dt
+ x
k dx k
dt
= x i V
i
k x
k + x
k g jk
dx j
dt
= x i V
i
k x
k + x
k g jk V
j
l g
il x i =
V
i
k + V k
i
x i x
k = 0
(.50)
ce qui impose :
V
i
k = −V k
i
(.51)
Notons que, si le repère est orthonormé, la condition d’antisymétrie s’écrira simplement V ik = −V ki .
A.3.5 Pseudo-vecteurs
L’ensemble des tenseurs d’ordre 2 antisymétriques constitue un sous-espace vectoriel de E
(2)
n dont la dimension est égale à (n − 1) n/2. Ainsi, dans le cas particulier de
l’espace à 3 dimensions, un tel tenseur est représenté par une matrice 3 × 3 construite
à partir de trois grandeurs indépendantes seulement (les éléments diagonaux sont
identiquement nuls et les triangles inférieurs et supérieurs sont constitués d’éléments
opposés deux à deux). Dès lors, dans l’espace à trois dimensions, le nombre de grandeurs indépendantes constituant un tenseur d’ordre 2 antisymétrique se confond avec
la dimension de l’espace vectoriel de référence. On peut donc adjoindre au tenseur
initial un pseudo-vecteur construit à partir des 3 composantes indépendantes qui le
constituent.
Reprenant l’exemple du tenseur vitesse de rotation, le tableau associé à V
i
k peut
s’écrire :
V
i
k
=
⎛
⎝
0
−v z v y
v z
0
−v x
−v y v x
0
⎞
⎠
(.52)
Les composantes du vecteur dérivée sont alors données par :
dx i
dt
=
V
i
k
x
k
=
⎛
⎝
v y z − v z y
v z x − v x z
v x y − v y x
⎞
⎠
(.53)
ce que l’on écrira encore, en utilisant le symbole d’antisymétrie introduit à la section A.1.2 :
dx i
dt
= e
i
jk v
j x
k
(.54)
235
point M ayant pour coordonnées
x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
dans un repère fixe, ce
tenseur est défini par :
dx i
dt
= V
i
k x
k
(.49)
La norme de OM restant constante au cours du temps (solide indéformable), il
vient :
d
dt
x i x
i
= x i
dx i
dt
+ x
k dx k
dt
= x i V
i
k x
k + x
k g jk
dx j
dt
= x i V
i
k x
k + x
k g jk V
j
l g
il x i =
V
i
k + V k
i
x i x
k = 0
(.50)
ce qui impose :
V
i
k = −V k
i
(.51)
Notons que, si le repère est orthonormé, la condition d’antisymétrie s’écrira simplement V ik = −V ki .
A.3.5 Pseudo-vecteurs
L’ensemble des tenseurs d’ordre 2 antisymétriques constitue un sous-espace vectoriel de E
(2)
n dont la dimension est égale à (n − 1) n/2. Ainsi, dans le cas particulier de
l’espace à 3 dimensions, un tel tenseur est représenté par une matrice 3 × 3 construite
à partir de trois grandeurs indépendantes seulement (les éléments diagonaux sont
identiquement nuls et les triangles inférieurs et supérieurs sont constitués d’éléments
opposés deux à deux). Dès lors, dans l’espace à trois dimensions, le nombre de grandeurs indépendantes constituant un tenseur d’ordre 2 antisymétrique se confond avec
la dimension de l’espace vectoriel de référence. On peut donc adjoindre au tenseur
initial un pseudo-vecteur construit à partir des 3 composantes indépendantes qui le
constituent.
Reprenant l’exemple du tenseur vitesse de rotation, le tableau associé à V
i
k peut
s’écrire :
V
i
k
=
⎛
⎝
0
−v z v y
v z
0
−v x
−v y v x
0
⎞
⎠
(.52)
Les composantes du vecteur dérivée sont alors données par :
dx i
dt
=
V
i
k
x
k
=
⎛
⎝
v y z − v z y
v z x − v x z
v x y − v y x
⎞
⎠
(.53)
ce que l’on écrira encore, en utilisant le symbole d’antisymétrie introduit à la section A.1.2 :
dx i
dt
= e
i
jk v
j x
k
(.54)