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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Ainsi, la contraction du tenseur U
r
lm d’ordre 3 permet de former un tenseur
d’ordre 1, c’est à dire un vecteur (on vérifiera que la relation précédente conduit
bien à une loi de transformation pour V l du type de (.19)). De manière générale, la
contraction d’un tenseur réduit son ordre de 2. Dans le cas d’un tenseur d’ordre 2,
la contraction d’indice conduit à un scalaire (tenseur d’ordre 0). On peut en particulier considérer la relation (.22) qui définit le produit scalaire de deux vecteurs x et y
comme la contraction du tenseur U
l
m = x
l y m obtenu par multiplication tensorielle
des vecteurs x et y. La succession d’une multiplication tensorielle et d’une contraction d’indices définit une nouvelle opération appelée multiplication contractée.
A.3.3 Tenseurs symétriques
Un tenseur U
lm est dit symétrique si toutes ses composantes satisfont aux relations :
U
lm = U
ml
(.44)
Transcrites dans une autre base à l’aide des relations (.40), où formulées à partir
des composantes covariantes ou mixtes de U, ces conditions de symétrie s’écriront
de manière similaire. Elles établissent donc bien une propriété intrinsèque du tenseur
considéré. Il vient en effet :
U
l
m = g rm U
lr = g rm U
rl = U m
l
(.45)
Ainsi, la forme mixte d’un tenseur symétrique peut s’écrire simplement U
l
m , sans
précision de l’ordre des indices.
On obtient de même :
U lm = U ml
(.46)
A titre d’exemple, on peut citer le tenseur de déformation en mécanique des milieux continus qui, dans l’hypothèse des petites déformations, se définit en fonction
des composantes u i du vecteur déplacement à l’aide d’une expression manifestement
symétrique :
S ik =
1
2
∂u i
∂x k
+
∂u k
∂x i
(.47)
Remarquons que l’espace à trois dimensions (indices romains) étant ici rapporté à
un repère orthonormé, la position basse des indices dans l’expression du tenseur de
déformation doit être considérée comme arbitraire (cf. §A.2.2).
A.3.4 Tenseurs antisymétriques
Un tenseur antisymétrique est tel que ses composantes vérifient les relations :
U
lm = −U
ml
(.48)
Considérons par exemple le cas du tenseur vitesse de rotation instantanée V
i
k qui,
à tout rayon vecteur OM d’un solide en rotation, associe sa dérivée temporelle. Le
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Ainsi, la contraction du tenseur U
r
lm d’ordre 3 permet de former un tenseur
d’ordre 1, c’est à dire un vecteur (on vérifiera que la relation précédente conduit
bien à une loi de transformation pour V l du type de (.19)). De manière générale, la
contraction d’un tenseur réduit son ordre de 2. Dans le cas d’un tenseur d’ordre 2,
la contraction d’indice conduit à un scalaire (tenseur d’ordre 0). On peut en particulier considérer la relation (.22) qui définit le produit scalaire de deux vecteurs x et y
comme la contraction du tenseur U
l
m = x
l y m obtenu par multiplication tensorielle
des vecteurs x et y. La succession d’une multiplication tensorielle et d’une contraction d’indices définit une nouvelle opération appelée multiplication contractée.
A.3.3 Tenseurs symétriques
Un tenseur U
lm est dit symétrique si toutes ses composantes satisfont aux relations :
U
lm = U
ml
(.44)
Transcrites dans une autre base à l’aide des relations (.40), où formulées à partir
des composantes covariantes ou mixtes de U, ces conditions de symétrie s’écriront
de manière similaire. Elles établissent donc bien une propriété intrinsèque du tenseur
considéré. Il vient en effet :
U
l
m = g rm U
lr = g rm U
rl = U m
l
(.45)
Ainsi, la forme mixte d’un tenseur symétrique peut s’écrire simplement U
l
m , sans
précision de l’ordre des indices.
On obtient de même :
U lm = U ml
(.46)
A titre d’exemple, on peut citer le tenseur de déformation en mécanique des milieux continus qui, dans l’hypothèse des petites déformations, se définit en fonction
des composantes u i du vecteur déplacement à l’aide d’une expression manifestement
symétrique :
S ik =
1
2
∂u i
∂x k
+
∂u k
∂x i
(.47)
Remarquons que l’espace à trois dimensions (indices romains) étant ici rapporté à
un repère orthonormé, la position basse des indices dans l’expression du tenseur de
déformation doit être considérée comme arbitraire (cf. §A.2.2).
A.3.4 Tenseurs antisymétriques
Un tenseur antisymétrique est tel que ses composantes vérifient les relations :
U
lm = −U
ml
(.48)
Considérons par exemple le cas du tenseur vitesse de rotation instantanée V
i
k qui,
à tout rayon vecteur OM d’un solide en rotation, associe sa dérivée temporelle. Le