A.3 Introduction aux tenseurs
233
alors, par définition, elles constituent les composantes covariantes d’un tenseur
d’ordre 2. Enfin, n
2 quantités satisfaisant à une loi de transformation du type :
A l
m = P
r
l P
m
s A
r
s
(.42)
A
r
s = P
l
r P
s
m A l
m
forment par définition les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre 2.
On vérifiera aisément que les n
2 quantités obtenues en effectuant le produit des
composantes de deux vecteurs x et y, conformément à la relation U
lm = x
l y
m ,
constituent précisément les composantes contravariantes d’un tenseur U d’ordre 2 (on
dira souvent « le tenseur U
lm »). Ce tenseur, appelé produit tensoriel des vecteurs x et
y et noté x⊗y, constitue un élément d’un nouvel espace vectoriel noté E
(2)
n = E n ⊗ E n
et appelé espace produit tensoriel. Une base de cet espace, appelée base associée à
(e l ), est formée des n
2 « vecteurs » e l ⊗ e m (U = U
lm e l ⊗ e m ). On peut également
définir, à partir du produit tensoriel de vecteurs rapportés à leur base d’origine ou à
leur base réciproque, les composantes covariantes d’un tenseur U (U = U lm e
l
⊗ e
m )
ou ses composantes mixtes (U = U
l
m e l ⊗ e
m ). Notons que l’on doit généralement
distinguer le tenseur U
l
m , élément de E n ⊗ E
∗
n du tenseur U l
m défini sur E
∗
n ⊗ E n
[32].
Les relations de passage (.40), (.41) et (.42), ainsi que les définitions qui s’y rapportent, se généralisent sans difficultés au cas de tenseurs d’ordre supérieur à 2. Ainsi,
un tenseur U d’ordre m, p fois contravariant et q fois covariant (m = p + q) se décomposera sur une base associée où interviennent p fois les vecteurs de la base (e l )
et q fois les vecteurs de la base réciproque
e
m
.
A.3.2 Opérations sur les tenseurs
L’addition de tenseurs du même ordre, rapportés à une même base, constitue une
première opération sur les tenseurs. Les composantes contravariantes, covariantes
ou mixtes de la somme s’obtiennent alors respectivement par simple addition des
composantes correspondantes des tenseurs additionnés.
Généralisant le produit tensoriel de vecteurs, la multiplication tensorielle d’un tenseur de l’espace E
(r)
n par un tenseur de l’espace E
(s)
n permet par ailleurs de former des
tenseurs d’ordre r + s de l’espace produit tensoriel E
(r )
n ⊗ E
(s)
n .
Une opération très utile permet par ailleurs de réduire l’ordre d’un tenseur donné
par contraction de ses indices. Considérons à titre d’illustration un tenseur une fois
contravariant et deux fois covariant, U
r
lm , et additionnons certaines de ses composantes définies par l’égalité de deux indices, l’un contravariant et l’autre covariant. Si
l’on choisit par exemple m = r, il vient immédiatement :
V l = U
1
l1 + U
2
l2 + · · · + U
n
ln = d
m
r U
r
lm
(.43)
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alors, par définition, elles constituent les composantes covariantes d’un tenseur
d’ordre 2. Enfin, n
2 quantités satisfaisant à une loi de transformation du type :
A l
m = P
r
l P
m
s A
r
s
(.42)
A
r
s = P
l
r P
s
m A l
m
forment par définition les composantes mixtes d’un tenseur d’ordre 2.
On vérifiera aisément que les n
2 quantités obtenues en effectuant le produit des
composantes de deux vecteurs x et y, conformément à la relation U
lm = x
l y
m ,
constituent précisément les composantes contravariantes d’un tenseur U d’ordre 2 (on
dira souvent « le tenseur U
lm »). Ce tenseur, appelé produit tensoriel des vecteurs x et
y et noté x⊗y, constitue un élément d’un nouvel espace vectoriel noté E
(2)
n = E n ⊗ E n
et appelé espace produit tensoriel. Une base de cet espace, appelée base associée à
(e l ), est formée des n
2 « vecteurs » e l ⊗ e m (U = U
lm e l ⊗ e m ). On peut également
définir, à partir du produit tensoriel de vecteurs rapportés à leur base d’origine ou à
leur base réciproque, les composantes covariantes d’un tenseur U (U = U lm e
l
⊗ e
m )
ou ses composantes mixtes (U = U
l
m e l ⊗ e
m ). Notons que l’on doit généralement
distinguer le tenseur U
l
m , élément de E n ⊗ E
∗
n du tenseur U l
m défini sur E
∗
n ⊗ E n
[32].
Les relations de passage (.40), (.41) et (.42), ainsi que les définitions qui s’y rapportent, se généralisent sans difficultés au cas de tenseurs d’ordre supérieur à 2. Ainsi,
un tenseur U d’ordre m, p fois contravariant et q fois covariant (m = p + q) se décomposera sur une base associée où interviennent p fois les vecteurs de la base (e l )
et q fois les vecteurs de la base réciproque
e
m
.
A.3.2 Opérations sur les tenseurs
L’addition de tenseurs du même ordre, rapportés à une même base, constitue une
première opération sur les tenseurs. Les composantes contravariantes, covariantes
ou mixtes de la somme s’obtiennent alors respectivement par simple addition des
composantes correspondantes des tenseurs additionnés.
Généralisant le produit tensoriel de vecteurs, la multiplication tensorielle d’un tenseur de l’espace E
(r)
n par un tenseur de l’espace E
(s)
n permet par ailleurs de former des
tenseurs d’ordre r + s de l’espace produit tensoriel E
(r )
n ⊗ E
(s)
n .
Une opération très utile permet par ailleurs de réduire l’ordre d’un tenseur donné
par contraction de ses indices. Considérons à titre d’illustration un tenseur une fois
contravariant et deux fois covariant, U
r
lm , et additionnons certaines de ses composantes définies par l’égalité de deux indices, l’un contravariant et l’autre covariant. Si
l’on choisit par exemple m = r, il vient immédiatement :
V l = U
1
l1 + U
2
l2 + · · · + U
n
ln = d
m
r U
r
lm
(.43)