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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Parmi les différents 4-vecteurs qui jouent un rôle fondamental en électromagnétisme, on peut citer à titre d’exemple le 4-vecteur « courant » J
l = (cr, j). Ce
4-vecteur regroupe en une seule entité les sources du champ liées, d’une part, à la
densité volumique de charge r, et, d’autre part, à la densité de courant volumique j.
A.3 INTRODUCTION AUX TENSEURS
Si les vecteurs précédemment étudiés peuvent être avantageusement manipulés par
le biais de leurs composantes, on doit garder à l’esprit qu’ils constituent en soi des
êtres mathématiques dont la nature intrinsèque est indépendante de la valeur particulière que prennent leurs composantes dans une base donnée. Pour le physicien, il
s’agit en particulier d’exprimer à l’aide de ces entités une réalité physique générale,
indépendamment du système de référence dans lequel elle est décrite.
La connaissance des règles de transformation auxquelles sont assujetties les composantes des entités manipulées lors d’un changement de référentiel constitue une
préoccupation de première importance. En effet, c’est précisément parce qu’une suite
de n quantités x
l suivent des lois de transformation du type (.16) qu’elles forment un
vecteur de E n .
Nous allons voir que la généralisation des règles de transformation établies pour
les vecteurs permet d’introduire de nouveaux êtres mathématiques, les tenseurs. Généralisant les notions de scalaire (tenseur d’ordre 0) et de vecteur (tenseur d’ordre 1),
les tenseurs permettront d’exprimer des lois physiques relativement élaborées grâce
à l’augmentation du nombre de leurs composantes : n
2 composantes pour un tenseur
d’ordre 2, n
3 pour un tenseur d’ordre 3, etc. En outre, leur utilisation systématique
permet d’accéder à une formulation covariante des lois de la physique, à savoir des
lois dont la forme est invariante dans un changement de référentiel galiléen.
A.3.1 Définitions
Considérons un espace vectoriel E n rapporté à deux bases (e l ) et
e
m
satisfaisant aux
relations de passage (.7). Soient n
2 quantités A
lm se transformant selon les relations :
A
lm = P
l
r P
m
s A
rs
(.40)
A
rs = P
r
l P
s
m A
lm
Par définition, les quantités A
lm constituent les composantes contravariantes d’un
tenseur A d’ordre 2. De même, si n
2 quantités A lm se transforment selon les relations :
A lm = P
r
l P
s
m A
rs
(.41)
A
rs = P
l
r P
m
s A lm
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Parmi les différents 4-vecteurs qui jouent un rôle fondamental en électromagnétisme, on peut citer à titre d’exemple le 4-vecteur « courant » J
l = (cr, j). Ce
4-vecteur regroupe en une seule entité les sources du champ liées, d’une part, à la
densité volumique de charge r, et, d’autre part, à la densité de courant volumique j.
A.3 INTRODUCTION AUX TENSEURS
Si les vecteurs précédemment étudiés peuvent être avantageusement manipulés par
le biais de leurs composantes, on doit garder à l’esprit qu’ils constituent en soi des
êtres mathématiques dont la nature intrinsèque est indépendante de la valeur particulière que prennent leurs composantes dans une base donnée. Pour le physicien, il
s’agit en particulier d’exprimer à l’aide de ces entités une réalité physique générale,
indépendamment du système de référence dans lequel elle est décrite.
La connaissance des règles de transformation auxquelles sont assujetties les composantes des entités manipulées lors d’un changement de référentiel constitue une
préoccupation de première importance. En effet, c’est précisément parce qu’une suite
de n quantités x
l suivent des lois de transformation du type (.16) qu’elles forment un
vecteur de E n .
Nous allons voir que la généralisation des règles de transformation établies pour
les vecteurs permet d’introduire de nouveaux êtres mathématiques, les tenseurs. Généralisant les notions de scalaire (tenseur d’ordre 0) et de vecteur (tenseur d’ordre 1),
les tenseurs permettront d’exprimer des lois physiques relativement élaborées grâce
à l’augmentation du nombre de leurs composantes : n
2 composantes pour un tenseur
d’ordre 2, n
3 pour un tenseur d’ordre 3, etc. En outre, leur utilisation systématique
permet d’accéder à une formulation covariante des lois de la physique, à savoir des
lois dont la forme est invariante dans un changement de référentiel galiléen.
A.3.1 Définitions
Considérons un espace vectoriel E n rapporté à deux bases (e l ) et
e
m
satisfaisant aux
relations de passage (.7). Soient n
2 quantités A
lm se transformant selon les relations :
A
lm = P
l
r P
m
s A
rs
(.40)
A
rs = P
r
l P
s
m A
lm
Par définition, les quantités A
lm constituent les composantes contravariantes d’un
tenseur A d’ordre 2. De même, si n
2 quantités A lm se transforment selon les relations :
A lm = P
r
l P
s
m A
rs
(.41)
A
rs = P
l
r P
m
s A lm