A.2 Compléments sur les vecteurs
231
Parmi les transformations qui laissent invariant l’intervalle lors d’un changement
de référentiel galiléen, la transformation de Lorentz spéciale permet d’exprimer les
coordonnées
ct
, x
, y
, z
d’un évènement rapporté à un référentiel R
en fonction
des coordonnées (ct, x, y, z) associé à un référentiel R, R
étant animé par rapport
à R d’un mouvement de translation uniforme, de vitesse v le long de l’axe Ox dans
le sens des x croissants (les axes des deux référentiels sont parallèles deux à deux et
les origines de R et R
coïncident pour t = t
= 0). Cette transformation s’écrit,
conformément aux notations précédemment introduites :
x
m = L
m
l x
l
(.36)
avec
L
m
l
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
cosh z − sinh z 0 0
− sinh z cosh z 0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
où le paramètre z, appelé rapidité, est défini par les relations :
sinh z = gb
cosh z = g
(.37)
avec
b =
v
c
, g =
1
1 − b 2
La transformation inverse s’écrit, d’après (.16) :
x
l = L
l
m x
m
(.38)
La matrice
L
l
m
, inverse de
L
m
l
conformément à la relation (.10), s’obtient
simplement en changeant le signe de b dans les expressions correspondantes (R est
animé d’une vitesse −v par rapport à R
).
Quant à la transformation des coordonnées covariantes, les relations (.19) donnent :
x l = L
m
l x
m
(.39)
x
m = L
l
m x l
La forme remarquable du tenseur fondamental défini par la relation (.35) induit des
règles de transformation relativement simples entre les composantes contravariantes
et covariantes. Le changement de position d’un indice spatial se traduit ainsi par un
simple changement de signe (x i = −x
i ), tandis que les coordonnées temporelles
ne subissent aucun changement (x 0 = x
0 ). Pour tout 4-vecteur Q de composante
temporelle q
0 et dont les composantes q
1 , q
2 et q
3 forment le vecteur spatial q,
nous adopterons la notation q
l =
q
0 , q
. Exprimé en fonction de ses composantes
covariantes, ce 4-vecteur se mettra donc sous la forme q l =
q
0 , −q
.
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Parmi les transformations qui laissent invariant l’intervalle lors d’un changement
de référentiel galiléen, la transformation de Lorentz spéciale permet d’exprimer les
coordonnées
ct
, x
, y
, z
d’un évènement rapporté à un référentiel R
en fonction
des coordonnées (ct, x, y, z) associé à un référentiel R, R
étant animé par rapport
à R d’un mouvement de translation uniforme, de vitesse v le long de l’axe Ox dans
le sens des x croissants (les axes des deux référentiels sont parallèles deux à deux et
les origines de R et R
coïncident pour t = t
= 0). Cette transformation s’écrit,
conformément aux notations précédemment introduites :
x
m = L
m
l x
l
(.36)
avec
L
m
l
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
cosh z − sinh z 0 0
− sinh z cosh z 0 0
0
0
1 0
0
0
0 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
où le paramètre z, appelé rapidité, est défini par les relations :
sinh z = gb
cosh z = g
(.37)
avec
b =
v
c
, g =
1
1 − b 2
La transformation inverse s’écrit, d’après (.16) :
x
l = L
l
m x
m
(.38)
La matrice
L
l
m
, inverse de
L
m
l
conformément à la relation (.10), s’obtient
simplement en changeant le signe de b dans les expressions correspondantes (R est
animé d’une vitesse −v par rapport à R
).
Quant à la transformation des coordonnées covariantes, les relations (.19) donnent :
x l = L
m
l x
m
(.39)
x
m = L
l
m x l
La forme remarquable du tenseur fondamental défini par la relation (.35) induit des
règles de transformation relativement simples entre les composantes contravariantes
et covariantes. Le changement de position d’un indice spatial se traduit ainsi par un
simple changement de signe (x i = −x
i ), tandis que les coordonnées temporelles
ne subissent aucun changement (x 0 = x
0 ). Pour tout 4-vecteur Q de composante
temporelle q
0 et dont les composantes q
1 , q
2 et q
3 forment le vecteur spatial q,
nous adopterons la notation q
l =
q
0 , q
. Exprimé en fonction de ses composantes
covariantes, ce 4-vecteur se mettra donc sous la forme q l =
q
0 , −q
.