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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Il vient alors :
x·e
l =
x
m e m
·e
l = x
m d lm = x
l
(.33)
Par conséquent, de même que la relation (.18) fait apparaître les quantités x·e l
comme les composantes covariantes du vecteur x par rapport à la base (e l ), les quantités x·e
l s’identifient, conformément à la relation (.33), aux composantes covariantes
du vecteur x par rapport à la base (e
l ). Les mêmes quantités x·e l s’identifient réciproquement aux composantes contravariantes de x dans la base (e
l ), tandis que x·e
l
correspond aux composantes contravariantes de x rapporté à la base (e l ). La base
réciproque joue donc un rôle parfaitement symétrique de celui de la base d’origine,
une composante covariante dans une des bases étant contravariante dans l’autre base.
Reprenant les considérations de dualité introduites au paragraphe A.2.3, il apparaît
que la base réciproque (e
l ) peut être confondue avec la base duale
e
l
, en vertu de
l’isomorphisme établi entre les espaces E n et E
∗
n grâce au produit scalaire.
A.2.5 Espaces affines
Les propriétés que décrivent les lois de la physique étant généralement attachées à
chacun des points de l’espace, la définition des champs de vecteurs ou de tenseurs
correspondants repose sur la notion d’espace affine, ou espace ponctuel. Un tel espace
E n est rapporté à un repère (O, e l ), O désignant le point origine et e l les vecteurs de
base de l’espace vectoriel associé E n . Chaque point M de E n est alors repéré par un
ensemble de coordonnées x
l qui s’identifient aux composantes du vecteur associé
OM = x
l e l de E n .
La distance entre deux points M et M
correspond par définition à la norme du
vecteur MM
. Dès lors, en vertu de la relation (.22) définissant le produit scalaire, le
carré de la distance ds entre deux points infiniment proches est donné par :
(ds)
2 = g lm dx
l dx
m
(.34)
A.2.6 Exemple des 4-vecteurs de la relativité restreinte
Dans le cadre de la relativité restreinte, tout évènement est associé à un quadrivecteur
x
0 = ct, x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
où c désigne la vitesse de la lumière, t le temps,
x, y, et z les coordonnées spatiales de l’évènement considéré. L’invariance de l’intervalle définie par (ds)
2 = c
2 dt
2
− dx
2
− dy
2
− dz
2 induit une métrique correspondant
au tenseur fondamental défini par la matrice :
g lm
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
(.35)
Compte tenu de sa forme particulière, la matrice
g lm
s’identifie à sa matrice
inverse, d’où l’égalité g
lm = g lm .
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Il vient alors :
x·e
l =
x
m e m
·e
l = x
m d lm = x
l
(.33)
Par conséquent, de même que la relation (.18) fait apparaître les quantités x·e l
comme les composantes covariantes du vecteur x par rapport à la base (e l ), les quantités x·e
l s’identifient, conformément à la relation (.33), aux composantes covariantes
du vecteur x par rapport à la base (e
l ). Les mêmes quantités x·e l s’identifient réciproquement aux composantes contravariantes de x dans la base (e
l ), tandis que x·e
l
correspond aux composantes contravariantes de x rapporté à la base (e l ). La base
réciproque joue donc un rôle parfaitement symétrique de celui de la base d’origine,
une composante covariante dans une des bases étant contravariante dans l’autre base.
Reprenant les considérations de dualité introduites au paragraphe A.2.3, il apparaît
que la base réciproque (e
l ) peut être confondue avec la base duale
e
l
, en vertu de
l’isomorphisme établi entre les espaces E n et E
∗
n grâce au produit scalaire.
A.2.5 Espaces affines
Les propriétés que décrivent les lois de la physique étant généralement attachées à
chacun des points de l’espace, la définition des champs de vecteurs ou de tenseurs
correspondants repose sur la notion d’espace affine, ou espace ponctuel. Un tel espace
E n est rapporté à un repère (O, e l ), O désignant le point origine et e l les vecteurs de
base de l’espace vectoriel associé E n . Chaque point M de E n est alors repéré par un
ensemble de coordonnées x
l qui s’identifient aux composantes du vecteur associé
OM = x
l e l de E n .
La distance entre deux points M et M
correspond par définition à la norme du
vecteur MM
. Dès lors, en vertu de la relation (.22) définissant le produit scalaire, le
carré de la distance ds entre deux points infiniment proches est donné par :
(ds)
2 = g lm dx
l dx
m
(.34)
A.2.6 Exemple des 4-vecteurs de la relativité restreinte
Dans le cadre de la relativité restreinte, tout évènement est associé à un quadrivecteur
x
0 = ct, x
1 = x, x
2 = y, x
3 = z
où c désigne la vitesse de la lumière, t le temps,
x, y, et z les coordonnées spatiales de l’évènement considéré. L’invariance de l’intervalle définie par (ds)
2 = c
2 dt
2
− dx
2
− dy
2
− dz
2 induit une métrique correspondant
au tenseur fondamental défini par la matrice :
g lm
=
⎛
⎜
⎜
⎝
1 0
0
0
0 −1 0
0
0 0 −1 0
0 0
0 −1
⎞
⎟
⎟
⎠
(.35)
Compte tenu de sa forme particulière, la matrice
g lm
s’identifie à sa matrice
inverse, d’où l’égalité g
lm = g lm .