A.2 Compléments sur les vecteurs
229
La forme linéaire définie par l’expression (.24) n’est autre que la forme
x précédemment construite à partir du vecteur x. Par conséquent, les quantités x m apparaissent comme les composantes de la forme linéaire associée au vecteur x, décomposée sur la base duale
e
1 , e
2 , . . . , e
n
. Les composantes contravariantes x
m et covariantes x m , respectivement associées aux vecteurs de base e m et e
m , ne sont donc que
deux traductions différentes d’un seul et même être mathématique, le vecteur x. On
peut enfin vérifier que la position supérieure des indices qui identifient les vecteurs
de la base duale est tout fait cohérente avec le fait que ces vecteurs se transforment,
comme les composantes contravariantes, suivant une loi du type (.16) :
x
m = e
m (x) = P
m
l x
l = P
m
l e
l (x)
(.25)
x
l = e
l (x) = P
l
m x
m = P
l
m e
m (x)
d’où :
e
l = P
l
m e
m
(.26)
e
m = P
m
l e
l
A.2.4 Bases réciproques
Soient (e
m ) un ensemble de n vecteurs définis par :
e l ·e
m = d lm
(.27)
On montre que ces vecteurs forment une base, appelée base réciproque de E n .
La condition de passage entre les vecteurs de base e l et les vecteurs réciproques e
m
s’écrivant :
e l = S
m
l e
m
(.28)
il vient :
e m ·e l = e m ·S
s
l e
s = S
s
l d ms = S
m
l = g ml
et par conséquent :
e l = g lm e
m
(.29)
Par analogie avec la relation (.21), on obtient de même pour la transformation
inverse :
e
m = g
lm e l
(.30)
Les composantes d’un vecteur x quelconque, décomposé sur la base réciproque
(e
m ), correspondent aux composantes covariantes de x par rapport à la base (e l ) :
x = x l e
l
(.31)
On vérifie en effet que :
x m = x·e m =
x l e
l
·e m = x l d lm
(.32)