A.1 Conventions d’écriture
225
A.1.2 Symbole de Kronecker et symbole d’antisymétrie
L’écriture de relations sous forme indicielle est facilitée par l’utilisation de symboles
prenant des valeurs particulières en fonction des indices dont ils dépendent.
Ainsi, le symbole de Kronecker d lm est défini par :
d lm = d
lm = d
l
m =
1 si l = m
0 si l = m
(.4)
Un autre symbole largement utilisé est le symbole d’antisymétrie tel que :
e
lmr =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
sil, m, r sont dans un ordre issu d’un nombre
pair de permutations de la séquence 1, 2, 3
−1 si l, m, r sont dans un ordre issu d’un nombre
impair de permutations de la séquence 1, 2, 3
0
si deux quelconques des indices sont égaux
(.5)
On aura donc par exemple :
⎧
⎨
⎩
e
312 = 1
e
321 = −1
e
112 = 0
(.6)
A.1.3 Formulation matricielle
Il peut être commode de transcrire l’écriture indicielle précédemment introduite sous
forme de relations matricielles. Considérons par exemple les relations traduisant le
passage entre deux systèmes de référence associés à deux bases (e 1 , e 2 , . . . , e n ) et
e
1 , e
2 , . . . , e
n
d’un espace vectoriel E n . Chaque vecteur de l’une des deux bases
peut être décomposé sur l’autre conformément aux relations de passage définies par :
e
m = P
l
m e l
(.7)
e l = P
m
l e
m
La transcription de ces relations sous forme matricielle s’écrira :
e
m
=
P m
l
[e l ]
(.8)
[e l ] =
P
l
m
e
m
en convenant que l’indice le plus proche des lettres support désignant le terme générique des matrices utilisées correspond à l’indice de ligne (par exemple l dans le
cas de la matrice à n lignes et n colonnes
P
l
m
). Dans ces relations, les matrices
[e l ] et
e
m
correspondent à des matrices uni-colonnes (l et m sont accolés à la lettre
e). Remarquons qu’avec cette convention, l’opération de transposition revient à un
déplacement latéral en sens contraire des indices concernés (en conservant leur position haute ou basse). Ainsi,
B
m
l
désignera la matrice transposée de
A l
m
, avec,
pour tout couple (l, m), la relation B
m
l = A l
m au niveau des composantes.
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A.1.2 Symbole de Kronecker et symbole d’antisymétrie
L’écriture de relations sous forme indicielle est facilitée par l’utilisation de symboles
prenant des valeurs particulières en fonction des indices dont ils dépendent.
Ainsi, le symbole de Kronecker d lm est défini par :
d lm = d
lm = d
l
m =
1 si l = m
0 si l = m
(.4)
Un autre symbole largement utilisé est le symbole d’antisymétrie tel que :
e
lmr =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
1
sil, m, r sont dans un ordre issu d’un nombre
pair de permutations de la séquence 1, 2, 3
−1 si l, m, r sont dans un ordre issu d’un nombre
impair de permutations de la séquence 1, 2, 3
0
si deux quelconques des indices sont égaux
(.5)
On aura donc par exemple :
⎧
⎨
⎩
e
312 = 1
e
321 = −1
e
112 = 0
(.6)
A.1.3 Formulation matricielle
Il peut être commode de transcrire l’écriture indicielle précédemment introduite sous
forme de relations matricielles. Considérons par exemple les relations traduisant le
passage entre deux systèmes de référence associés à deux bases (e 1 , e 2 , . . . , e n ) et
e
1 , e
2 , . . . , e
n
d’un espace vectoriel E n . Chaque vecteur de l’une des deux bases
peut être décomposé sur l’autre conformément aux relations de passage définies par :
e
m = P
l
m e l
(.7)
e l = P
m
l e
m
La transcription de ces relations sous forme matricielle s’écrira :
e
m
=
P m
l
[e l ]
(.8)
[e l ] =
P
l
m
e
m
en convenant que l’indice le plus proche des lettres support désignant le terme générique des matrices utilisées correspond à l’indice de ligne (par exemple l dans le
cas de la matrice à n lignes et n colonnes
P
l
m
). Dans ces relations, les matrices
[e l ] et
e
m
correspondent à des matrices uni-colonnes (l et m sont accolés à la lettre
e). Remarquons qu’avec cette convention, l’opération de transposition revient à un
déplacement latéral en sens contraire des indices concernés (en conservant leur position haute ou basse). Ainsi,
B
m
l
désignera la matrice transposée de
A l
m
, avec,
pour tout couple (l, m), la relation B
m
l = A l
m au niveau des composantes.