226
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Les relations (.7) entraînent :
e l = P
m
l e
m = P
m
l P
s
m e s
(.9)
d’où les n
2 relations scalaires :
P
m
l P
s
m = d
s
l
(.10)
Écrite sous forme matricielle à partir des relations (.8), cette condition traduit le
fait que
P
l
m
est la matrice inverse de
P m
l
.
A.2 COMPLÉMENTS SUR LES VECTEURS
A.2.1 Produit scalaire
La convention de sommation sur les indices répétés introduite à la section A.1.1
s’étend aisément au cas des sommes multiples où figurent plusieurs indices muets.
En particulier, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x et y s’écrit conformément à la notation adoptée :
x·y =x
l y
m e l ·e m
(.11)
expression qui fait intervenir n
2 termes élémentaires dans le cas d’un espace de
dimension n. En posant :
g lm = e l ·e m
(.12)
l’expression générale du produit scalaire devient alors :
x·y =g lm x
l y
m
(.13)
Le tableau des nombres g lm forme un opérateur dénommé tenseur fondamental ou
tenseur métrique qui définit entièrement les propriétés du produit scalaire que l’on se
donne sur l’espace vectoriel considéré. Un espace vectoriel sur lequel on a défini un
produit scalaire est appélé espace vectoriel pré-euclidien. Deux vecteurs x et y d’un
espace vectoriel pré-euclidien sont dits orthogonaux lorsque leur produit scalaire est
nul. Lorsque les n vecteurs de base sont orthogonaux entre eux, les termes g lm sont
nuls pour l = m.
Le produit scalaire correspond à une loi de composition commutative. Par suite, les
composantes du tenseur fondamental satisfont à la condition de symétrie g lm = g ml .
De plus, une propriété supplémentaire du produit scalaire impose que le déterminant
de la matrice des g lm soit nécessairement non nul.
Dans le cas où les termes g lm pour l = m sont strictement positifs, la norme d’un
vecteur (dont le carré s’identifie au produit scalaire x·x) est un nombre positif ou nul
et l’espace vectoriel est alors qualifié d’euclidien. Si cet espace est rapporté à une
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
Les relations (.7) entraînent :
e l = P
m
l e
m = P
m
l P
s
m e s
(.9)
d’où les n
2 relations scalaires :
P
m
l P
s
m = d
s
l
(.10)
Écrite sous forme matricielle à partir des relations (.8), cette condition traduit le
fait que
P
l
m
est la matrice inverse de
P m
l
.
A.2 COMPLÉMENTS SUR LES VECTEURS
A.2.1 Produit scalaire
La convention de sommation sur les indices répétés introduite à la section A.1.1
s’étend aisément au cas des sommes multiples où figurent plusieurs indices muets.
En particulier, le produit scalaire de deux vecteurs quelconques x et y s’écrit conformément à la notation adoptée :
x·y =x
l y
m e l ·e m
(.11)
expression qui fait intervenir n
2 termes élémentaires dans le cas d’un espace de
dimension n. En posant :
g lm = e l ·e m
(.12)
l’expression générale du produit scalaire devient alors :
x·y =g lm x
l y
m
(.13)
Le tableau des nombres g lm forme un opérateur dénommé tenseur fondamental ou
tenseur métrique qui définit entièrement les propriétés du produit scalaire que l’on se
donne sur l’espace vectoriel considéré. Un espace vectoriel sur lequel on a défini un
produit scalaire est appélé espace vectoriel pré-euclidien. Deux vecteurs x et y d’un
espace vectoriel pré-euclidien sont dits orthogonaux lorsque leur produit scalaire est
nul. Lorsque les n vecteurs de base sont orthogonaux entre eux, les termes g lm sont
nuls pour l = m.
Le produit scalaire correspond à une loi de composition commutative. Par suite, les
composantes du tenseur fondamental satisfont à la condition de symétrie g lm = g ml .
De plus, une propriété supplémentaire du produit scalaire impose que le déterminant
de la matrice des g lm soit nécessairement non nul.
Dans le cas où les termes g lm pour l = m sont strictement positifs, la norme d’un
vecteur (dont le carré s’identifie au produit scalaire x·x) est un nombre positif ou nul
et l’espace vectoriel est alors qualifié d’euclidien. Si cet espace est rapporté à une