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Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
ouvrages au sein desquels les techniques du calcul tensoriel sont largement confrontées aux problèmes de la physique [33] [34] [35]. Pour le lecteur désireux d’approfondir la question sur un plan plus théorique, on peut recommander l’ouvrage de L.
Schwartz [32].
A.1 CONVENTIONS D’ÉCRITURE
A.1.1 Notation indicielle
Soit E n un espace vectoriel de dimension n muni d’une base (e 1 , e 2 , . . . , e n ). Un
vecteur quelconque x de cet espace s’écrit :
x = x
1 e 1 + x
2 e 2 + . . . + x
n e n =
n
l=1
x
l e l
(.1)
où x
1 , x
2 , . . . , x
n désignent les coordonnées du vecteur x rapporté à cette base.
La répétition de l’indice l dans le terme générique de la somme définissant le vecteur x peut être considérée en soi comme une indication de la sommation effectuée.
Dès lors, conformément à la convention de sommation sur les indices répétés, on
écrira plus simplement :
x =
n
l=1
x
l e l = x
l e l
(.2)
Lorsque aucune ambiguïté n’est possible, nous conviendrons également de ne pas
préciser le domaine sur lequel s’effectue la sommation. De manière générale, nous
réservons les indices romains aux sommations relatives à l’espace à trois dimensions
(i, j, k, . . . varient de 1 à 3), tandis que les lettres grecques sont utilisées dans les
autres cas (l, m, s, . . . varient par exemple de 0 à 3 dans l’espace quadridimensionnel de la relativité restreinte). Remarquons qu’il conviendra de distinguer les indices
muets, faisant l’objet d’une sommation, des indices libres associés à un terme particulier. Ainsi, dans l’expression :
A
k
i y k = A
1
i y 1 + A
2
i y 2 + A
3
i y 3
(.3)
l’indice k est muet (et peut donc être remplacé par toute autre lettre) tandis que
l’indice libre i spécifie le i
`
eme terme de l’expression (.3). Dans la formulation d’une
équation, les indices libres intervenant dans les deux membres doivent se correspondre un à un, et cela en respectant la position (inférieure ou supérieure) à laquelle
ils apparaissent. Comme nous le justifierons plus loin, ces règles permettent en pratique de contrôler que les deux objets constituant les deux membres de l’équation
sont bien de même « nature » (sans quoi la relation écrite serait absurde, ou tout au
moins fortuite).
Annexe • Notions élémentaires sur les tenseurs
ouvrages au sein desquels les techniques du calcul tensoriel sont largement confrontées aux problèmes de la physique [33] [34] [35]. Pour le lecteur désireux d’approfondir la question sur un plan plus théorique, on peut recommander l’ouvrage de L.
Schwartz [32].
A.1 CONVENTIONS D’ÉCRITURE
A.1.1 Notation indicielle
Soit E n un espace vectoriel de dimension n muni d’une base (e 1 , e 2 , . . . , e n ). Un
vecteur quelconque x de cet espace s’écrit :
x = x
1 e 1 + x
2 e 2 + . . . + x
n e n =
n
l=1
x
l e l
(.1)
où x
1 , x
2 , . . . , x
n désignent les coordonnées du vecteur x rapporté à cette base.
La répétition de l’indice l dans le terme générique de la somme définissant le vecteur x peut être considérée en soi comme une indication de la sommation effectuée.
Dès lors, conformément à la convention de sommation sur les indices répétés, on
écrira plus simplement :
x =
n
l=1
x
l e l = x
l e l
(.2)
Lorsque aucune ambiguïté n’est possible, nous conviendrons également de ne pas
préciser le domaine sur lequel s’effectue la sommation. De manière générale, nous
réservons les indices romains aux sommations relatives à l’espace à trois dimensions
(i, j, k, . . . varient de 1 à 3), tandis que les lettres grecques sont utilisées dans les
autres cas (l, m, s, . . . varient par exemple de 0 à 3 dans l’espace quadridimensionnel de la relativité restreinte). Remarquons qu’il conviendra de distinguer les indices
muets, faisant l’objet d’une sommation, des indices libres associés à un terme particulier. Ainsi, dans l’expression :
A
k
i y k = A
1
i y 1 + A
2
i y 2 + A
3
i y 3
(.3)
l’indice k est muet (et peut donc être remplacé par toute autre lettre) tandis que
l’indice libre i spécifie le i
`
eme terme de l’expression (.3). Dans la formulation d’une
équation, les indices libres intervenant dans les deux membres doivent se correspondre un à un, et cela en respectant la position (inférieure ou supérieure) à laquelle
ils apparaissent. Comme nous le justifierons plus loin, ces règles permettent en pratique de contrôler que les deux objets constituant les deux membres de l’équation
sont bien de même « nature » (sans quoi la relation écrite serait absurde, ou tout au
moins fortuite).