Annexe
Notions élémentaires
sur les tenseurs
Si le calcul vectoriel est une technique largement exploitée en mécanique ou en électrodynamique, l’ensemble des grandeurs physiques associées à ces disciplines ne peut
être exclusivement représenté par des vecteurs de l’espace euclidien à trois dimensions. On peut citer par exemple le problème lié à la caractérisation des propriétés
élastiques de la matière : neuf nombres sont a priori nécessaires pour décrire les
forces de tension interne (contraintes) développées en chaque point d’un solide déformable. Le champ électromagnétique, de par sa nature relativiste, constitue également
une notion que le seul calcul vectoriel ne peut appréhender de manière satisfaisante.
Ainsi, dès la fin du XIX
e siècle, l’introduction de nouveaux êtres mathématiques appelés tenseurs, en référence à la signification particulière qu’ils prennent en élasticité,
a joué un rôle déterminant dans le développement de la physique des milieux continus. Soulignons que la théorie de la relativité doit en partie son développement à
l’existence préalable du calcul tensoriel. En vertu du premier postulat d’Einstein, les
équations fondamentales qui décrivent les lois de la physique doivent pouvoir être
exprimées sous une forme indépendante du système de référence dans lequel elles
sont formulées, ce que permet précisément l’outil tensoriel.
Les notions très succintes données ci-après sur les tenseurs ont essentiellement
pour but de préciser les conventions d’écriture utilisées et les règles élémentaires
associées à la manipulation des expressions tensorielles introduites dans le présent
ouvrage. Une présentation plus complète du sujet est accessible dans de nombreux