7.3 Couplage électromécanique en régime résonnant
209
Constante (unité)
Expression
Signification physique
Mv (Kg)
Mv =
1
2
rm 0 abh
masse vibrante équivalente
k E
N.m −1
k E =
c E
11
p 2 bh
8a
raideur à champ électrique constant
C S (F)
C S =
e S
33
ab
h
capacité de l’élément encastré
h
N.V −1
h = −e 31 b
e 31 < 0
rapport de transformation électromécanique
(les dimensions du transducteur sont définies à la figure 7.2)
Tableau 7.4 Constantes électromécaniques globales du transducteur à couplage transversal
(résonance en quart de longueur d’onde)
Dans cette formulation, il convient de noter que la tension harmonique v v joue le
rôle d’une vitesse généralisée. Cette situation résulte directement du choix des variables indépendantes figurant dans le potentiel (7.7). L’énergie électrostatique étant
assimilée à une énergie cinétique, conformément à une convention du type « magnétostatique » (cf. tableau 3.2), elle est comptée positivement dans l’expression du
lagrangien, alors que l’énergie élastique est affectée d’un signe négatif. Ceci justifie
de même la différence de signe des potentiels d’origine externe.
La transcription des équations générales (2.34) en termes du lagrangien (7.11)
fournit immédiatement les équations propres aux degrés de liberté mécanique et électrique du système. Le fonctionnement du transducteur en régime harmonique est donc
finalement régi par le système différentiel :
M v ¨
u v + k
E u v = hv v + f v
C
S ˙
v v + h ˙
u v = i v
(7.12)
L’équation mécanique, du second ordre, rend compte d’un comportement résonnant dont la pulsation caractéristique s’exprime par :
v r =
k E
M v
=
2p
l v
c E
11
r m 0
(7.13)
Quant à l’équation électrique, elle montre que l’intensité du courant absorbé par
le transducteur est la somme de deux contributions. La première, d’origine purement
diélectrique, correspond à un courant « capacitif » d’intensité C
S ˙
v v . La seconde résulte directement du couplage piézoélectrique sous l’effet duquel apparaît un courant
proportionnel à la vitesse vibratoire ˙
u v .
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Constante (unité)
Expression
Signification physique
Mv (Kg)
Mv =
1
2
rm 0 abh
masse vibrante équivalente
k E
N.m −1
k E =
c E
11
p 2 bh
8a
raideur à champ électrique constant
C S (F)
C S =
e S
33
ab
h
capacité de l’élément encastré
h
N.V −1
h = −e 31 b
e 31 < 0
rapport de transformation électromécanique
(les dimensions du transducteur sont définies à la figure 7.2)
Tableau 7.4 Constantes électromécaniques globales du transducteur à couplage transversal
(résonance en quart de longueur d’onde)
Dans cette formulation, il convient de noter que la tension harmonique v v joue le
rôle d’une vitesse généralisée. Cette situation résulte directement du choix des variables indépendantes figurant dans le potentiel (7.7). L’énergie électrostatique étant
assimilée à une énergie cinétique, conformément à une convention du type « magnétostatique » (cf. tableau 3.2), elle est comptée positivement dans l’expression du
lagrangien, alors que l’énergie élastique est affectée d’un signe négatif. Ceci justifie
de même la différence de signe des potentiels d’origine externe.
La transcription des équations générales (2.34) en termes du lagrangien (7.11)
fournit immédiatement les équations propres aux degrés de liberté mécanique et électrique du système. Le fonctionnement du transducteur en régime harmonique est donc
finalement régi par le système différentiel :
M v ¨
u v + k
E u v = hv v + f v
C
S ˙
v v + h ˙
u v = i v
(7.12)
L’équation mécanique, du second ordre, rend compte d’un comportement résonnant dont la pulsation caractéristique s’exprime par :
v r =
k E
M v
=
2p
l v
c E
11
r m 0
(7.13)
Quant à l’équation électrique, elle montre que l’intensité du courant absorbé par
le transducteur est la somme de deux contributions. La première, d’origine purement
diélectrique, correspond à un courant « capacitif » d’intensité C
S ˙
v v . La seconde résulte directement du couplage piézoélectrique sous l’effet duquel apparaît un courant
proportionnel à la vitesse vibratoire ˙
u v .