208
7 • Piézoactionneurs et piézomoteurs
thermodynamique une « enthalpie libre électrique » définie par (cf. section 4.4) :
G e (S 1 , E 3 ) =
1
2
c
E
11 S
2
1 − e 31 S 1 E 3 −
1
2
e
S
33 E
2
3
(7.7)
La correspondance des coefficients c
E
11 , e 31 et e
S
33 avec les constantes caractéristiques du mode transversal exprimé en variables (T , E) s’obtient immédiatement en
inversant le jeu d’équations constitutives donné dans le tableau 7.2
(1) . Il vient ainsi :
c
E
11 =
1
s E
11
; e 31 =
d 31
s E
11
; e
S
33 = e
T
33 −
d 2
31
s E
11
(7.8)
7.3.3 Équations de fonctionnement en régime harmonique
En vertu du principe énoncé au paragraphe 2.3.1, tout système électromécanique est
caractérisé par un lagrangien à partir duquel les équations du mouvement peuvent
être systématiquement établies. Pour un système conservatif, la fonction de Lagrange
n’est autre que la différence des termes d’énergies cinétique et potentielle généralisées. Ainsi, dans le cas du transducteur à couplage transversal caractérisé par le
potentiel volumique (7.7), cette fonction s’identifie à l’intégrale :
L p =
1
2
(V 0 )
r m 0 ˙
u
2
1 − c
E
11 S
2
1 + 2e 31 S 1 E 3 + e
S
33 E
2
3
dv
(7.9)
où r m 0 désigne la masse volumique de la céramique.
En substituant dans (7.9) l’expression des grandeurs locales en fonction des variables globales u v et v v (relations (7.4) à (7.6)), il vient, après intégration des différents termes sur un volume d’élément dv = bhdx :
L p (u v , ˙
u v , v v ) =
1
2
M v ˙
u
2
v −
1
2
k
E u
2
v + hu v v v +
1
2
C
S
v
2
v
(7.10)
La définition des constantes globales M v , k
E , h, et C
S en fonction des caractéristiques physiques du transducteur est explicitée dans le tableau 7.4.
Le lagrangien L p décrit la dynamique propre de l’élément piézoélectrique, indépendamment des sources électriques et mécaniques avec lesquelles il interagit. La
prise en compte explicite de ces corps extérieurs requiert l’introduction de potentiels
externes construits comme le produit des forces données par les coordonnées généralisées qui leur sont conjuguées (voir section 3.5). Ainsi, la fonction de Lagrange
associée au système électromécanique complet s’écrira :
L (u v , ˙
u v , v v , t) =
1
2
M v ˙
u
2
v −
1
2
k
E u
2
v +hu v v v +
1
2
C
S
v
2
v + f v (t) u v −q cv (t) v v (7.11)
(1) Ceci suppose implicitement que l’effet des autres modes de couplage est négligé. Dans le cas contraire, il
conviendra d’inverser le système d’équations (4.50) dans toute sa généralité.
7 • Piézoactionneurs et piézomoteurs
thermodynamique une « enthalpie libre électrique » définie par (cf. section 4.4) :
G e (S 1 , E 3 ) =
1
2
c
E
11 S
2
1 − e 31 S 1 E 3 −
1
2
e
S
33 E
2
3
(7.7)
La correspondance des coefficients c
E
11 , e 31 et e
S
33 avec les constantes caractéristiques du mode transversal exprimé en variables (T , E) s’obtient immédiatement en
inversant le jeu d’équations constitutives donné dans le tableau 7.2
(1) . Il vient ainsi :
c
E
11 =
1
s E
11
; e 31 =
d 31
s E
11
; e
S
33 = e
T
33 −
d 2
31
s E
11
(7.8)
7.3.3 Équations de fonctionnement en régime harmonique
En vertu du principe énoncé au paragraphe 2.3.1, tout système électromécanique est
caractérisé par un lagrangien à partir duquel les équations du mouvement peuvent
être systématiquement établies. Pour un système conservatif, la fonction de Lagrange
n’est autre que la différence des termes d’énergies cinétique et potentielle généralisées. Ainsi, dans le cas du transducteur à couplage transversal caractérisé par le
potentiel volumique (7.7), cette fonction s’identifie à l’intégrale :
L p =
1
2
(V 0 )
r m 0 ˙
u
2
1 − c
E
11 S
2
1 + 2e 31 S 1 E 3 + e
S
33 E
2
3
dv
(7.9)
où r m 0 désigne la masse volumique de la céramique.
En substituant dans (7.9) l’expression des grandeurs locales en fonction des variables globales u v et v v (relations (7.4) à (7.6)), il vient, après intégration des différents termes sur un volume d’élément dv = bhdx :
L p (u v , ˙
u v , v v ) =
1
2
M v ˙
u
2
v −
1
2
k
E u
2
v + hu v v v +
1
2
C
S
v
2
v
(7.10)
La définition des constantes globales M v , k
E , h, et C
S en fonction des caractéristiques physiques du transducteur est explicitée dans le tableau 7.4.
Le lagrangien L p décrit la dynamique propre de l’élément piézoélectrique, indépendamment des sources électriques et mécaniques avec lesquelles il interagit. La
prise en compte explicite de ces corps extérieurs requiert l’introduction de potentiels
externes construits comme le produit des forces données par les coordonnées généralisées qui leur sont conjuguées (voir section 3.5). Ainsi, la fonction de Lagrange
associée au système électromécanique complet s’écrira :
L (u v , ˙
u v , v v , t) =
1
2
M v ˙
u
2
v −
1
2
k
E u
2
v +hu v v v +
1
2
C
S
v
2
v + f v (t) u v −q cv (t) v v (7.11)
(1) Ceci suppose implicitement que l’effet des autres modes de couplage est négligé. Dans le cas contraire, il
conviendra d’inverser le système d’équations (4.50) dans toute sa généralité.