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7 • Piézoactionneurs et piézomoteurs
7.3.2 Cas d’un transducteur à couplage transversal
Afin de dégager les propriétés fondamentales des transducteurs piézoélectriques
fonctionnant à la résonance, reprenons l’exemple de l’élément à couplage transversal étudié en régime quasistatique au paragraphe 7.2.1. À partir des relations
constitutives locales du milieu et des conditions aux frontières imposées par les
corps extérieurs, on se propose de déterminer les équations macroscopiques qui
caractérisent le transducteur en régime variable.
Face à ce problème électroélastique couplé, le système d’équations dynamiques
qu’il s’agit a priori de résoudre combine les équations du champ (cf. tableau 2.2) aux
équations (2.43) de l’élastodynamique. Or, à l’exception de quelques configurations
particulièrement « simples », voire triviales, ce système différentiel n’admet pas en
général de solution analytique exacte. Aussi, il faudra se contenter dans la plupart
des cas d’une solution approchée. À cette fin, plutôt que de chercher à résoudre une
version simplifiée du jeu d’équations initial, le problème peut aussi être avantageusement formulé en termes de lagrangien, conformément à la méthodologie préconisée
au chapitre 2. Moyennant quelques hypothèses sur la distribution des champs (degrés
de liberté locaux), il s’agit dans ce cas de construire une fonction de Lagrange exprimée à partir des coordonnées et vitesses généralisées macroscopiques du système.
Le principe de moindre action portant sur une fonctionnelle de nature énergétique,
les erreurs commises sur les grandeurs globales sont du second ordre par rapport aux
approximations effectuées sur les champs. Un second avantage de la méthode tient à
l’obtention systématisée des équations du mouvement sous la forme des équations de
Lagrange (2.34).
S’agissant de l’élément à couplage transversal schématisé sur la figure 7.2, on suppose tout d’abord que le champ électrique E est nul hors du volume (V 0 ) occupé par
l’élément piézoélectrique
(1) et que sa distribution est uniforme dans tout le volume du
matériau. Les électrodes disposées sur les faces supérieures et inférieures du transducteur imposent des équipotentielles parallèles au plan (x Oy), si bien que le champ
est dirigé selon Oz (axe de polarisation).
D’autre part, face aux multiples configurations vibratoires possibles, on s’intéresse
plus particulièrement au cas où la déformation s’établit selon une onde plane stationnaire caractérisée par un seul noeud (l’élément est encastrée en x = 0) et un seul
ventre situé au niveau de la face libre (plan x = a). En d’autres termes, la longueur
d’onde l v de la vibration est telle que a = l v /4 (résonance dite en « quart de longueur d’onde »). Dans ces conditions, on recherchera pour le champ de déplacement
u x (x, t) une solution de la forme :
u x (x, t) = u v (t) sin
2p
l v
x
(7.4)
(1) Cette hypothèse est justifiée par la permittivité élevée de la céramique (typiquement 1 000 fois la permittivité du vide) comparée à celle du milieu environnant.
7 • Piézoactionneurs et piézomoteurs
7.3.2 Cas d’un transducteur à couplage transversal
Afin de dégager les propriétés fondamentales des transducteurs piézoélectriques
fonctionnant à la résonance, reprenons l’exemple de l’élément à couplage transversal étudié en régime quasistatique au paragraphe 7.2.1. À partir des relations
constitutives locales du milieu et des conditions aux frontières imposées par les
corps extérieurs, on se propose de déterminer les équations macroscopiques qui
caractérisent le transducteur en régime variable.
Face à ce problème électroélastique couplé, le système d’équations dynamiques
qu’il s’agit a priori de résoudre combine les équations du champ (cf. tableau 2.2) aux
équations (2.43) de l’élastodynamique. Or, à l’exception de quelques configurations
particulièrement « simples », voire triviales, ce système différentiel n’admet pas en
général de solution analytique exacte. Aussi, il faudra se contenter dans la plupart
des cas d’une solution approchée. À cette fin, plutôt que de chercher à résoudre une
version simplifiée du jeu d’équations initial, le problème peut aussi être avantageusement formulé en termes de lagrangien, conformément à la méthodologie préconisée
au chapitre 2. Moyennant quelques hypothèses sur la distribution des champs (degrés
de liberté locaux), il s’agit dans ce cas de construire une fonction de Lagrange exprimée à partir des coordonnées et vitesses généralisées macroscopiques du système.
Le principe de moindre action portant sur une fonctionnelle de nature énergétique,
les erreurs commises sur les grandeurs globales sont du second ordre par rapport aux
approximations effectuées sur les champs. Un second avantage de la méthode tient à
l’obtention systématisée des équations du mouvement sous la forme des équations de
Lagrange (2.34).
S’agissant de l’élément à couplage transversal schématisé sur la figure 7.2, on suppose tout d’abord que le champ électrique E est nul hors du volume (V 0 ) occupé par
l’élément piézoélectrique
(1) et que sa distribution est uniforme dans tout le volume du
matériau. Les électrodes disposées sur les faces supérieures et inférieures du transducteur imposent des équipotentielles parallèles au plan (x Oy), si bien que le champ
est dirigé selon Oz (axe de polarisation).
D’autre part, face aux multiples configurations vibratoires possibles, on s’intéresse
plus particulièrement au cas où la déformation s’établit selon une onde plane stationnaire caractérisée par un seul noeud (l’élément est encastrée en x = 0) et un seul
ventre situé au niveau de la face libre (plan x = a). En d’autres termes, la longueur
d’onde l v de la vibration est telle que a = l v /4 (résonance dite en « quart de longueur d’onde »). Dans ces conditions, on recherchera pour le champ de déplacement
u x (x, t) une solution de la forme :
u x (x, t) = u v (t) sin
2p
l v
x
(7.4)
(1) Cette hypothèse est justifiée par la permittivité élevée de la céramique (typiquement 1 000 fois la permittivité du vide) comparée à celle du milieu environnant.