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4 • Interaction électromécanique
où d
S et k
D désignent respectivement le coefficient de capacité inverse à déformation constante et le coefficient de raideur à déplacement électrique constant, h
représentant la constante piézoélectrique globale de l’élément.
a) Déduire de l’expression du lagrangien les équations constitutives globales caractérisant le couplage électroélastique dans le transducteur.
(Réponse :
f = −k
D x − hq c
v = hx + d
S q c
)
b) Déterminer les expressions de la raideur k
E à champ constant et de la capacité
inverse d
T à contrainte nulle.
c) Établir les équations du mouvement gouvernant le fonctionnement du transducteur.
(Réponse :
m ¨
x + k
D x + hq c = f a
d
S q c + hx = v a
)
4.3. Générateur homopolaire à rotor sphérique
D’une manière analogue à l’exemple traité à la section 4.3.6, on peut constituer
un générateur électrique à induction à l’aide d’une sphère conductrice aimantée de
rayon a, tournant à la vitesse V autour de son axe de polarisation magnétique J. Cette
dernière est supposée uniforme dans tout le volume du corps. Le système est muni
de deux balais fixes M et N frottant respectivement au niveau de l’axe de rotation
r = a, u =
p
2
et le long de la ligne équatoriale (r = a, u = 0) de la sphère.
a) Le corps étant supposé parfaitement conducteur, déterminer le potentiel du
champ électrostatique engendré à l’extérieur de la sphère.
(Réponse : F = −
2
9
a
5
r 3 VJ
1 −
3
2
sin
2 u
)
b) En déduire la différence de potentiel aux bornes des balais.
(Réponse : v M N =
1
3
a
2 VJ )
4 • Interaction électromécanique
où d
S et k
D désignent respectivement le coefficient de capacité inverse à déformation constante et le coefficient de raideur à déplacement électrique constant, h
représentant la constante piézoélectrique globale de l’élément.
a) Déduire de l’expression du lagrangien les équations constitutives globales caractérisant le couplage électroélastique dans le transducteur.
(Réponse :
f = −k
D x − hq c
v = hx + d
S q c
)
b) Déterminer les expressions de la raideur k
E à champ constant et de la capacité
inverse d
T à contrainte nulle.
c) Établir les équations du mouvement gouvernant le fonctionnement du transducteur.
(Réponse :
m ¨
x + k
D x + hq c = f a
d
S q c + hx = v a
)
4.3. Générateur homopolaire à rotor sphérique
D’une manière analogue à l’exemple traité à la section 4.3.6, on peut constituer
un générateur électrique à induction à l’aide d’une sphère conductrice aimantée de
rayon a, tournant à la vitesse V autour de son axe de polarisation magnétique J. Cette
dernière est supposée uniforme dans tout le volume du corps. Le système est muni
de deux balais fixes M et N frottant respectivement au niveau de l’axe de rotation
r = a, u =
p
2
et le long de la ligne équatoriale (r = a, u = 0) de la sphère.
a) Le corps étant supposé parfaitement conducteur, déterminer le potentiel du
champ électrostatique engendré à l’extérieur de la sphère.
(Réponse : F = −
2
9
a
5
r 3 VJ
1 −
3
2
sin
2 u
)
b) En déduire la différence de potentiel aux bornes des balais.
(Réponse : v M N =
1
3
a
2 VJ )