Exercices et problèmes
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EXERCICES ET PROBLÈMES
4.1. Actionneur à noyau ferromagnétique tournant
On considère un système électromagnétique au sein duquel interagissent une armature bobinée fixe (stator), parcourue par un courant d’intensité i, et un noyau ferromagnétique tournant (rotor). On suppose que le cicuit magnétique assurant le couplage
des deux sources n’est pas saturé (régime linéaire). La loi définissant l’évolution de
l’inductance propre l p de l’enroulement statorique en fonction de l’angle a qui repère
la position du noyau polarisable est donnée par (à température constante) :
l p (a) = l 0 + l 2 cos
2 a
où l 0 et l 2 désignent des constantes positives.
a) Écrire l’expression de l’enthalpie libre G mag caractérisant l’état du système
opérant à courant et position angulaire donnés.
(Réponse : G mag (a, i) = −
1
2
l 0 + l 2 cos
2 a
i
2 )
b) En déduire l’expression du moment du couple exercé par le stator sur le noyau
tournant.
(Réponse : g = −
1
2
l 2 i
2 sin 2a)
c) Afin d’entretenir la rotation du rotor, on alimente le stator par des créneaux de
courants unidirectionnels d’amplitude I , appliqués durant les alternances positives du
couple statique. Déterminer dans ces conditions le moment du couple moyen produit
par la machine.
(Réponse : g moy =
l 2 I
2
2p
)
d) Représenter le cycle que décrit le point de fonctionnement de la machine dans le
plan flux-courant. Déterminer l’aire du cycle balayé et comparer sa valeur au moment
du couple moyen précédemment trouvé.
4.2. Transducteur piézoélectrique
On considère un barreau piézoélectrique qui déplace une masse m suivant un axe
de translation Ox (on néglige la masse de l’élément piézoélectrique). On désigne
respectivement par f a (t) et v a (t) la force et la tension auxquelles est soumis le transducteur. Les variables x et q c correspondent respectivement au déplacement produit
à l’extrémité du barreau et à la charge globale accumulée sur ses électrodes. On suppose que la fonction de Lagrange du système s’écrit :
L (x, ˙
x, q c ) =
1
2
m ˙
x
2
−
1
2
d
S q
2
c −
1
2
k
D x
2
− hq c
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EXERCICES ET PROBLÈMES
4.1. Actionneur à noyau ferromagnétique tournant
On considère un système électromagnétique au sein duquel interagissent une armature bobinée fixe (stator), parcourue par un courant d’intensité i, et un noyau ferromagnétique tournant (rotor). On suppose que le cicuit magnétique assurant le couplage
des deux sources n’est pas saturé (régime linéaire). La loi définissant l’évolution de
l’inductance propre l p de l’enroulement statorique en fonction de l’angle a qui repère
la position du noyau polarisable est donnée par (à température constante) :
l p (a) = l 0 + l 2 cos
2 a
où l 0 et l 2 désignent des constantes positives.
a) Écrire l’expression de l’enthalpie libre G mag caractérisant l’état du système
opérant à courant et position angulaire donnés.
(Réponse : G mag (a, i) = −
1
2
l 0 + l 2 cos
2 a
i
2 )
b) En déduire l’expression du moment du couple exercé par le stator sur le noyau
tournant.
(Réponse : g = −
1
2
l 2 i
2 sin 2a)
c) Afin d’entretenir la rotation du rotor, on alimente le stator par des créneaux de
courants unidirectionnels d’amplitude I , appliqués durant les alternances positives du
couple statique. Déterminer dans ces conditions le moment du couple moyen produit
par la machine.
(Réponse : g moy =
l 2 I
2
2p
)
d) Représenter le cycle que décrit le point de fonctionnement de la machine dans le
plan flux-courant. Déterminer l’aire du cycle balayé et comparer sa valeur au moment
du couple moyen précédemment trouvé.
4.2. Transducteur piézoélectrique
On considère un barreau piézoélectrique qui déplace une masse m suivant un axe
de translation Ox (on néglige la masse de l’élément piézoélectrique). On désigne
respectivement par f a (t) et v a (t) la force et la tension auxquelles est soumis le transducteur. Les variables x et q c correspondent respectivement au déplacement produit
à l’extrémité du barreau et à la charge globale accumulée sur ses électrodes. On suppose que la fonction de Lagrange du système s’écrit :
L (x, ˙
x, q c ) =
1
2
m ˙
x
2
−
1
2
d
S q
2
c −
1
2
k
D x
2
− hq c