4.3 Effets électrodynamiques
127
b) Conducteur aimanté tournant dans son propre champ
Examinons maintenant le cas où le tore est constitué d’un milieu aimanté conducteur
uniformément polarisé suivant une direction parallèle à son axe de rotation. Dans ces
conditions, le corps se meut dans un champ magnétique invariablement lié à la matière qui le constitue. Le fait que le conducteur ne « coupe » plus les lignes du champ
magnétique inviterait à conclure sans ambages que le circuit n’est le siège d’aucune
force électromotrice d’induction. Il n’en est rien ! Une différence de potentiel apparaît bel et bien entre les balais M et N sous l’effet de la rotation du tore aimanté. Si la
théorie classique fournit une explication pleinement satisfaisante lorsque le conducteur se déplace par rapport au champ, comment interpréter la contradiction apparente
qu’elle suggère dans le cas présent ? Pour lever une telle ambiguïté, le point de vue
relativiste s’impose.
On doit tout d’abord observer que la différence de potentiel entre M et N ne peut
être due à un quelconque champ électromoteur agissant à l’intérieur du conducteur.
En effet, dans le système de repos du conducteur, il règne un champ purement magnétique. En revanche, si le conducteur n’est pas électriquement polarisé pour un observateur de
R
, les formules (4.29) montrent que le mouvement du corps aimanté
génère, dans le référentiel du laboratoire, une polarisation électrique :
P = e 0 (v ∧ J)
(4.41)
Cette polarisation étant uniforme (divP = 0), elle équivaut à un système de charges
fictives distribuées de manière purement surfacique. La densité s p de ces charges
liées est déterminée par la relation (2.14), ce qui donne, dans un système de coordonnées cylindriques (r , u, z) dont l’axe polaire coïncide avec l’axe N M :
s p = P cos u
(4.42)
Comme le montre la figure 4.11, ces charges engendrent, à l’extérieur du tore,
un champ électrostatique. Les lignes équipotentielles (tangentes à E) dans un plan
méridien sont des cercles passant par l’origine du système de coordonnées et dont les
centres sont situés le long de l’axe polaire. On montre en effet que ce champ résulte
d’un potentiel scalaire de la forme :
F (r , u) =
Pa 2
2e 0 r
cos u
(4.43)
La justification de cette expression du potentiel pourra être trouvée au § 6.2.1 grâce
à l’analogie qui existe entre les équations statiques régissant les champs magnétique
(DA = 0) et électrique (DF = 0). Dans le cas présent, cette analogie produit le fait
remarquable que les lignes du champ B (équipotentielles « vecteur ») dues à l’aimantation uniforme J se confondent avec les lignes de E (équipotentielles « scalaire »)
associées à la polarisation P (d’axe perpendiculaire à J).
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b) Conducteur aimanté tournant dans son propre champ
Examinons maintenant le cas où le tore est constitué d’un milieu aimanté conducteur
uniformément polarisé suivant une direction parallèle à son axe de rotation. Dans ces
conditions, le corps se meut dans un champ magnétique invariablement lié à la matière qui le constitue. Le fait que le conducteur ne « coupe » plus les lignes du champ
magnétique inviterait à conclure sans ambages que le circuit n’est le siège d’aucune
force électromotrice d’induction. Il n’en est rien ! Une différence de potentiel apparaît bel et bien entre les balais M et N sous l’effet de la rotation du tore aimanté. Si la
théorie classique fournit une explication pleinement satisfaisante lorsque le conducteur se déplace par rapport au champ, comment interpréter la contradiction apparente
qu’elle suggère dans le cas présent ? Pour lever une telle ambiguïté, le point de vue
relativiste s’impose.
On doit tout d’abord observer que la différence de potentiel entre M et N ne peut
être due à un quelconque champ électromoteur agissant à l’intérieur du conducteur.
En effet, dans le système de repos du conducteur, il règne un champ purement magnétique. En revanche, si le conducteur n’est pas électriquement polarisé pour un observateur de
R
, les formules (4.29) montrent que le mouvement du corps aimanté
génère, dans le référentiel du laboratoire, une polarisation électrique :
P = e 0 (v ∧ J)
(4.41)
Cette polarisation étant uniforme (divP = 0), elle équivaut à un système de charges
fictives distribuées de manière purement surfacique. La densité s p de ces charges
liées est déterminée par la relation (2.14), ce qui donne, dans un système de coordonnées cylindriques (r , u, z) dont l’axe polaire coïncide avec l’axe N M :
s p = P cos u
(4.42)
Comme le montre la figure 4.11, ces charges engendrent, à l’extérieur du tore,
un champ électrostatique. Les lignes équipotentielles (tangentes à E) dans un plan
méridien sont des cercles passant par l’origine du système de coordonnées et dont les
centres sont situés le long de l’axe polaire. On montre en effet que ce champ résulte
d’un potentiel scalaire de la forme :
F (r , u) =
Pa 2
2e 0 r
cos u
(4.43)
La justification de cette expression du potentiel pourra être trouvée au § 6.2.1 grâce
à l’analogie qui existe entre les équations statiques régissant les champs magnétique
(DA = 0) et électrique (DF = 0). Dans le cas présent, cette analogie produit le fait
remarquable que les lignes du champ B (équipotentielles « vecteur ») dues à l’aimantation uniforme J se confondent avec les lignes de E (équipotentielles « scalaire »)
associées à la polarisation P (d’axe perpendiculaire à J).