122
4 • Interaction électromécanique
relation :
e =
(G)
(E + v ∧ B) ·dl
(4.32)
Le premier terme rend compte des effets observés dans le cas d’un corps au repos
(v = 0) soumis à un champ variable. En utilisant l’équation (4.30), il vient pour cette
intégrale (théorème de Stokes) :
e (v=0) =
(G)
E·dl =
(S G )
rotE·ds = −
∂
∂t
(S G )
B·ds
(4.33)
On obtient donc un premier terme de force électromotrice égal à la dérivée par
rapport au temps, à vitesse v nulle, du flux magnétique w à travers la surface S G
s’appuyant sur le circuit :
e (v=0) = −
∂w
∂t
(v=0)
(4.34)
Quant au deuxième terme, il a trait aux effets qu’entraînent le mouvement du corps
dans un champ B stationnaire. L’intégrale correspondante s’écrivant sous forme indicielle :
e (B=cte) =
(G)
e i jk v j B k dl i
(4.35)
il vient, en introduisant le déplacement élémentaire du j = v j dt :
e (B=cte) =
(G)
e i jk B k du j dl i
dt
= −
(G)
e k ji B k du j dl i
dt
(4.36)
En remarquant que le produit vectoriel e k ji du j dl i représente l’élément d’aire d f k
de la surface latérale engendrée par le déplacement du contour G (cf. figure 4.7),
l’intégrale (4.36) revient au flux de B à travers cette surface divisé par l’intervalle de
temps dt. Or, en vertu du caractère conservatif du flux magnétique (divB = 0), le
flux latéral s’identifie à la différence des flux à travers les surfaces S G(t+dt) et S G(t) . Il
vient par conséquent :
e (B=cte) = −
∂w
∂t
(B=cte)
(4.37)
Dès lors, l’addition des deux contributions obtenues donne finalement :
e = e (v=0) + e (B=cte) = −
dw
dt
(4.38)
La force électromotrice résultante s’exprime donc comme la dérivée totale du flux
magnétique par rapport au temps. Son expression condense en une loi unique l’ensemble des effets électrodynamiques associés au phénomène d’induction.
4 • Interaction électromécanique
relation :
e =
(G)
(E + v ∧ B) ·dl
(4.32)
Le premier terme rend compte des effets observés dans le cas d’un corps au repos
(v = 0) soumis à un champ variable. En utilisant l’équation (4.30), il vient pour cette
intégrale (théorème de Stokes) :
e (v=0) =
(G)
E·dl =
(S G )
rotE·ds = −
∂
∂t
(S G )
B·ds
(4.33)
On obtient donc un premier terme de force électromotrice égal à la dérivée par
rapport au temps, à vitesse v nulle, du flux magnétique w à travers la surface S G
s’appuyant sur le circuit :
e (v=0) = −
∂w
∂t
(v=0)
(4.34)
Quant au deuxième terme, il a trait aux effets qu’entraînent le mouvement du corps
dans un champ B stationnaire. L’intégrale correspondante s’écrivant sous forme indicielle :
e (B=cte) =
(G)
e i jk v j B k dl i
(4.35)
il vient, en introduisant le déplacement élémentaire du j = v j dt :
e (B=cte) =
(G)
e i jk B k du j dl i
dt
= −
(G)
e k ji B k du j dl i
dt
(4.36)
En remarquant que le produit vectoriel e k ji du j dl i représente l’élément d’aire d f k
de la surface latérale engendrée par le déplacement du contour G (cf. figure 4.7),
l’intégrale (4.36) revient au flux de B à travers cette surface divisé par l’intervalle de
temps dt. Or, en vertu du caractère conservatif du flux magnétique (divB = 0), le
flux latéral s’identifie à la différence des flux à travers les surfaces S G(t+dt) et S G(t) . Il
vient par conséquent :
e (B=cte) = −
∂w
∂t
(B=cte)
(4.37)
Dès lors, l’addition des deux contributions obtenues donne finalement :
e = e (v=0) + e (B=cte) = −
dw
dt
(4.38)
La force électromotrice résultante s’exprime donc comme la dérivée totale du flux
magnétique par rapport au temps. Son expression condense en une loi unique l’ensemble des effets électrodynamiques associés au phénomène d’induction.