3.4 Systèmes électromécaniques à l’équilibre
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3.4.3 Expressions des forces en régime quasi-statique
En mécanique, les forces conservatives s’expriment à partir de la dérivation d’une
énergie potentielle par rapport aux variables de position correspondantes. D’une manière tout à fait analogue, les forces généralisées agissant dans les systèmes considérés s’obtiendront, en régime quasi-statique, par dérivation d’un potentiel thermodynamique convenablement choisi. Ceci résulte directement des propriétés des différentielles totales exactes associées aux fonctions d’état précédemment définies. Ainsi, la
différentielle de l’énergie interne s’écrivant de manière générale :
dU =
∂U
∂S
q l
dS +
∂U
∂q l
S,q s
(s =l)
dq
l
(3.42)
il vient immédiatement, après identification avec (3.34) :
f a l =
∂U
∂q l
S,q s (s =l)
(3.43)
(les indices à droite de la parenthèse rappellent les grandeurs maintenues constantes
au cours de la dérivation partielle).
De même, si le problème est formulé en terme d’enthalpie libre généralisée, ces
mêmes forces s’obtiendront par :
f a l =
∂G
∂q l
Q, fa r ,q s (s =l)
(3.44)
Les formulations déduites des différentes fonctions d’état utilisables sont rassemblées dans le tableau 3.6.
Tableau 3.6 Principales formulations utilisables pour le calcul des forces généralisées
en régime quasi-statique
Variables
S, q 1 , . . . , q n
Q, q 1 , . . . , q n
S, fa 1 , . . . , fa m ,
Q, fa 1 , . . . , fa m ,
indépendantes
q m+1 , . . . , q n
q m+1 , . . . , q n
Fonction d’état
U
F = U − QS
H = U − fa r q r
G = F − fa r q r
appropriée
(énergie interne)
(énergie libre)
(enthalpie généralisée)
(enthalpie libre
généralisées)
Expression des
forces généralisées fa l =
∂U
∂q l
S,q
s
(s =l)
fa l =
∂F
∂q l
Q,q
s
(s =l)
fa l =
∂H
∂q l
S,fa r ,q
s
(s =l)
fa l =
∂G
∂q l
Q,fa r ,q
s
(s =l)
(l, s = 1, . . . , n)
(r = 1, . . . , m ; l, s = m + 1, . . . , n)
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3.4.3 Expressions des forces en régime quasi-statique
En mécanique, les forces conservatives s’expriment à partir de la dérivation d’une
énergie potentielle par rapport aux variables de position correspondantes. D’une manière tout à fait analogue, les forces généralisées agissant dans les systèmes considérés s’obtiendront, en régime quasi-statique, par dérivation d’un potentiel thermodynamique convenablement choisi. Ceci résulte directement des propriétés des différentielles totales exactes associées aux fonctions d’état précédemment définies. Ainsi, la
différentielle de l’énergie interne s’écrivant de manière générale :
dU =
∂U
∂S
q l
dS +
∂U
∂q l
S,q s
(s =l)
dq
l
(3.42)
il vient immédiatement, après identification avec (3.34) :
f a l =
∂U
∂q l
S,q s (s =l)
(3.43)
(les indices à droite de la parenthèse rappellent les grandeurs maintenues constantes
au cours de la dérivation partielle).
De même, si le problème est formulé en terme d’enthalpie libre généralisée, ces
mêmes forces s’obtiendront par :
f a l =
∂G
∂q l
Q, fa r ,q s (s =l)
(3.44)
Les formulations déduites des différentes fonctions d’état utilisables sont rassemblées dans le tableau 3.6.
Tableau 3.6 Principales formulations utilisables pour le calcul des forces généralisées
en régime quasi-statique
Variables
S, q 1 , . . . , q n
Q, q 1 , . . . , q n
S, fa 1 , . . . , fa m ,
Q, fa 1 , . . . , fa m ,
indépendantes
q m+1 , . . . , q n
q m+1 , . . . , q n
Fonction d’état
U
F = U − QS
H = U − fa r q r
G = F − fa r q r
appropriée
(énergie interne)
(énergie libre)
(enthalpie généralisée)
(enthalpie libre
généralisées)
Expression des
forces généralisées fa l =
∂U
∂q l
S,q
s
(s =l)
fa l =
∂F
∂q l
Q,q
s
(s =l)
fa l =
∂H
∂q l
S,fa r ,q
s
(s =l)
fa l =
∂G
∂q l
Q,fa r ,q
s
(s =l)
(l, s = 1, . . . , n)
(r = 1, . . . , m ; l, s = m + 1, . . . , n)