Chapitre 83
83.2 (a) V 0 ≈ 35π 2 2 /2ma 2
(b) La fonction d’onde u(x) du premier état excité de ce puits doit avoir un nœud,
et être antisymétrique autour de x = 0. On peut satisfaire l’équation de Schrödinger et la condition aux limites avec la même énergie E = (0,9)π 2 2 /2ma 2 qu’en
partie (a) ci-dessus, si
u(x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
u a (x)
pour x 0
−u a (−x) pour x < 0
où u a (x) est la fonction d’onde de la partie (a) ci-dessus lorsque x > 0.
83.3 (b) E 0 ≈ 0,27V 0 , et E 1 ≈ 0,90V 0
(c) Si V 0 a 2 < π 2 2 /8m il y a un seul état lié.
83.4 (a) En appliquant l’équation de Schrödinger
i
∂ψ
∂t
= −
2
2m
∂ 2 ψ
∂x 2
à ψ(x) = Ke −[a(t)x 2 +c(t)] et en simplifiant,
−i
da
dt
x
2
+
dc
dt
= −
2
2m
−2a + 4a
2 x
2
.
Ceci doit être vrai pour tout x, donc les coefficients des puissances de x peuvent
être les mêmes. En particulier pour x 2 ,
−i
da
dt
= −
2
2m
4a
2 ,
avec la solution
1
a(t)
=
1
a 0
+
2i
m
t.
(b) c(t) = c 0 +
1
2 ln [a 0 /a(t)] où c 0 = c(0).
(c) Elle va s’étendre sur une région d’une étendue d’environ 2300 km.
(d) |φ(p)|
2
= K
2 π
a 0
e
−2c 0 −p 2 /2 2 a 0
(e) Δp =
√ a 0 . (Ne change pas avec le temps.)
(f) En substituant c(t) et a(t) des parties (a) et (b) ci-dessus dans ψ(x), élevant au
carré et en simplifiant,
|ψ(x)|
2
= K
2
|a(t)/a 0 |e
−2c 0 −x 2 /(1/2a 0 +2a 0 2 t 2 /m 2 )
La largeur de la fonction d’onde spatiale est donc Δx =
1/4a 0 + a 0 2 t 2 /m 2 .
Pour t grand, Δx ≈ (
√ a 0 /m)t = (Δp/m)t = Δvt.
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