Annexe C • Réponses
CHAPITRE 82
82.1 λ ≈ 10 −6 m
82.2 ΔE ≈ 3,1 eV/molécule
82.3 (a) Si la probabilité de trouver aucun spin vers le bas dans le mode K est C, la probabilité de trouver n spins vers le bas est Ce −nE K /kT . Le nombre moyen d’atomes
avec spin en bas dans le mode K est alors
¯
n K =
∞
n=0
nCe −nE K /kT
∞
n=0
Ce −nE K /kT
=
Ce E k /kT /(e E k /kT − 1) 2
Ce E k /kT /(e E k /kT − 1)
=
1
e E K /kT − 1
.
(b) Si les seuls états sont ceux où tous les spins en bas appartiennent au même
mode, le nombre moyen de spins vers le bas à la température T est
K ¯
n K , ce qui
vaut
¯
n K d 3 K/(2π) 3 par unité de volume, d 3 K/(2π) 3 étant le nombre de modes par
unité de volume avec K à d 3 K près.
(d)
4
√ π
∞
0
x 2 dx
e x 2 − 1
=
4
√ π
∞
n=1
∞
0
x
2 e
−nx 2 dx
=
4
√ π
∞
n=1
√ π
4
1
n 3/2
=
∞
n=1
1
n 3/2 = ζ(3/2) ≈ 2,61
CHAPITRE 83
83.1 (a) Pour ψ(x,t) = u 0 (x)e −iE 0 t/ , l’équation de Schrödinger donne d 2 u 0 /dx 2 =
(2m/ 2 )[V(x) − E 0 ]u 0 (x). Dans les régions où V(x) = V 0 (avec V 0 → ∞), |u 0 (x)|
deviendrait infini lorsque |x| tend vers l’infini et cela ne décrirait pas une particule
liée.
(b) u n (x) = A sin
√
2mE n
x
E n =
π 2 2
2ma 2 (n + 1)
2
avec la constante A et n = 0,1,2, . . .
(c) E 0 = π 2 2 /2ma 2 , et
u 0 (x) =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
A sin(πx/a) pour 0 x a
0
pour x < 0 et x > a
(d) E 1 − E 0 = 3π 2 2 /2ma 2
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