Chapitre 70
(b) L’amplitude pour un électron d’arriver en x est φ = x | 1a 1 + x | 2a 2 . Comme
exposé au volume III, Chapitre 7, des états d’énergie bien définie E ont une dépendance en temps e −iEt/ . Puisque les amplitudes x | 1 et x | 2 n’ont pas de
dépendance en temps, celles de a 1 et a 2 déterminent E. E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 détermine l’impulsion p, et cela détermine la longueur d’onde λ = h/p.
70.6 (a) a = λL/d = hL/p 0 d
(c) L’énergie totale des particules doit être conservée, par conséquent p 2 (x)/2m +
V(x) = p 2 (0)/2m+V(0), ou p(x) =
p 2 (0) + 2m(V(0) − V(x)). Lorsque V(x) varie
lentement, V(x) − V(0) sera petit, et p(x) ≈ p(0) + (m/p(0))(V(0) − V(x)) ; de plus,
V(x) − V(0) ≈ (∂V/∂x)x = −F x. Par conséquent, p(x) ≈ p(0) + (m/p(0))F x, qui
est la même chose que p(x) ≈ p(0)+ F x/v, puisque la vitesse initiale des particules
est v = p(0)/m.
(d) 1. Si on fait l’approximation que les deux chemins sont de longueur L, la différence de phase entre les chemins est Δφ ≈ ΔkL = (Δp/)L, où Δk la différence en
nombre d’onde et Δp est la différence correspondante en impulsion. La différence
moyenne de hauteur des deux chemins est d/2, donc, en utilisant le résultat donné
pour la partie (c), la différence moyenne en impulsion est Δp = F(d/2)/v. Par
conséquent Δφ ≈ (dF/2v)L.
(d) 2. En substituant le résultat de la partie (1) ci-dessus, dans le résultat donné
pour la partie (b), et utilisant p 0 = mv, le déplacement du schéma est
S = +(dF/2v)L
L
d
mv
=
1
2
F
m
L
v
2
=
1
2
F
m
t
2 .
70.7 Notons l’amplitude pour que la particule aille de S à x (sans regarder son spin) φ =
x | 11 | S + x | 22 | S . Notons la probabilité totale pour qu’un électron passe
au travers d’une fente (sans se préoccuper du spin) γ 2 = α 2 + β 2 . Notons les
intensités des électrons de spin vers le haut et vers le bas en x comme P + et P −
respectivement, si bien que l’intensité totale des électrons en x est P = P + + P − ,
alors
(a) P + = α 2 φ 2 , P − = β 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
(b) P + = β 2 φ 2 , P − = α 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
(c) P + = P − =
1
2 γ 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
70.8 Pour réduire une probabilité d’un facteur 100 il faut réduire l’amplitude de probabilité correspondante d’un facteur 10. Donc l’amplitude de probabilité pour
qu’une particule arrive en un point quelconque de l’écran, en étant passée par
le point obstrué, est réduite d’un facteur 10. Si l’amplitude totale pour arriver par
le trou intact est ae iφ 1 , l’amplitude pour arriver en passant par le trou obstrué est
0,1ae iφ 2 . Les probabilités maximum et minimum d’arriver se produisent quand
ces amplitudes s’ajoutent ou quand elle se soustraient (compte tenu de la phase).
Ainsi, le rapport entre les probabilités maximum et minimum d’arriver sur l’écran
est |a + 0,1a| 2 /|a − 0,1a| 2 = 1,21/0,81 ≈ 1,49.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
337
(b) L’amplitude pour un électron d’arriver en x est φ = x | 1a 1 + x | 2a 2 . Comme
exposé au volume III, Chapitre 7, des états d’énergie bien définie E ont une dépendance en temps e −iEt/ . Puisque les amplitudes x | 1 et x | 2 n’ont pas de
dépendance en temps, celles de a 1 et a 2 déterminent E. E 2 = m 2 c 4 + p 2 c 2 détermine l’impulsion p, et cela détermine la longueur d’onde λ = h/p.
70.6 (a) a = λL/d = hL/p 0 d
(c) L’énergie totale des particules doit être conservée, par conséquent p 2 (x)/2m +
V(x) = p 2 (0)/2m+V(0), ou p(x) =
p 2 (0) + 2m(V(0) − V(x)). Lorsque V(x) varie
lentement, V(x) − V(0) sera petit, et p(x) ≈ p(0) + (m/p(0))(V(0) − V(x)) ; de plus,
V(x) − V(0) ≈ (∂V/∂x)x = −F x. Par conséquent, p(x) ≈ p(0) + (m/p(0))F x, qui
est la même chose que p(x) ≈ p(0)+ F x/v, puisque la vitesse initiale des particules
est v = p(0)/m.
(d) 1. Si on fait l’approximation que les deux chemins sont de longueur L, la différence de phase entre les chemins est Δφ ≈ ΔkL = (Δp/)L, où Δk la différence en
nombre d’onde et Δp est la différence correspondante en impulsion. La différence
moyenne de hauteur des deux chemins est d/2, donc, en utilisant le résultat donné
pour la partie (c), la différence moyenne en impulsion est Δp = F(d/2)/v. Par
conséquent Δφ ≈ (dF/2v)L.
(d) 2. En substituant le résultat de la partie (1) ci-dessus, dans le résultat donné
pour la partie (b), et utilisant p 0 = mv, le déplacement du schéma est
S = +(dF/2v)L
L
d
mv
=
1
2
F
m
L
v
2
=
1
2
F
m
t
2 .
70.7 Notons l’amplitude pour que la particule aille de S à x (sans regarder son spin) φ =
x | 11 | S + x | 22 | S . Notons la probabilité totale pour qu’un électron passe
au travers d’une fente (sans se préoccuper du spin) γ 2 = α 2 + β 2 . Notons les
intensités des électrons de spin vers le haut et vers le bas en x comme P + et P −
respectivement, si bien que l’intensité totale des électrons en x est P = P + + P − ,
alors
(a) P + = α 2 φ 2 , P − = β 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
(b) P + = β 2 φ 2 , P − = α 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
(c) P + = P − =
1
2 γ 2 φ 2 , P = γ 2 φ 2 .
70.8 Pour réduire une probabilité d’un facteur 100 il faut réduire l’amplitude de probabilité correspondante d’un facteur 10. Donc l’amplitude de probabilité pour
qu’une particule arrive en un point quelconque de l’écran, en étant passée par
le point obstrué, est réduite d’un facteur 10. Si l’amplitude totale pour arriver par
le trou intact est ae iφ 1 , l’amplitude pour arriver en passant par le trou obstrué est
0,1ae iφ 2 . Les probabilités maximum et minimum d’arriver se produisent quand
ces amplitudes s’ajoutent ou quand elle se soustraient (compte tenu de la phase).
Ainsi, le rapport entre les probabilités maximum et minimum d’arriver sur l’écran
est |a + 0,1a| 2 /|a − 0,1a| 2 = 1,21/0,81 ≈ 1,49.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
337