Chapitre 67
CHAPITRE 67
67.1 (a) r Al /r acier = 1,30
(b) m Al /m acier = 0,59
67.2 ω = (1,32 × 10 5 ) · a 2 /
√
mL 3
67.3 (a) L’équation (38.20) du volume II donne la pression p que l’on doit appliquer sur
les extrémités d’une barre de longueur L pour changer sa longueur de ΔL tout en
maintenant constantes sa largeur et sa hauteur, p = [(1−σ)Y/(1+σ)(1−2σ)]ΔL/L.
Lorsque des ondes de compression sont transmises dans une substance, disons
dans la direction z, le matériau en n’importe quel point ne ressent que la contrainte
de compression locale ∂L/∂z. La pression en z est donc
p(z) =
(1 − σ)Y
(1 + σ)(1 − 2σ)
∂L
∂z
.
La force totale agissant sur un élément de volume Δx Δy Δz est F(z + Δz) − F(z) =
Δx Δy(∂p/∂z)Δz, qui doit être égale à la masse de l’élément multipliée par son
accélération, (ρ Δx Δy Δz)(∂ 2 L/∂t 2 ), où ρ est la densité de matériau. Ainsi, ∂p/∂z =
ρ∂ 2 L/∂t 2 . En substituant p(z), donné plus haut, on obtient l’équation d’onde avec
une vitesse de l’onde V long =
(1 − σ)Y/(1 − 2σ)(1 + σ)ρ,
∂ 2 L
∂z 2 −
1
V 2
long
∂ 2 L
∂t 2 = 0.
(b) Parce que p(z) dépend de ce que la largeur et de la hauteur du bloc ne changent
pas, ces dimensions doivent être grandes par rapport à la longueur d’onde des
ondes longitudinales.
67.4 (a) La règle est courbée en une demi-onde sinusoïdale de longueur d’onde ≈ 23 .
(b) F ≈ 1,3 kg
67.5 P =
π 2
48
Ywt 3
L 2
CHAPITRE 68
68.2 En prenant pour z l’axe du cylindre, et r sur n’importe quel rayon,
(a) z = (ω 2 /2g)r 2
(b) (Voir l’Ex. 38.5.) Le champ des vitesses est u = ω × r, où ω = ωe z , r =
xe x + ye y . Par conséquent u = ω(−ye x + xe y ). Ainsi,
∇ × u = ω
e x e y e z
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
−y x
0
= ωe z (1 + 1) = 2ω.
68.3 (b) p total = mu
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