Annexe C • Réponses
CHAPITRE 59
59.2 U = 960 megatonnes
59.3 Le long du fil il y a une chute de tension de IR par unité de longueur, ce qui
implique qu’il y a un champ E à la surface du fil de force IR (dans la direction
du courant). À la surface du fil, le champ B a une grandeur I/2πa 0 c 2 , où a est le
rayon du fil. Puisque E et B sont perpendiculaires, S = 0 c 2 E× B = −(I 2 R/2πa)e r .
Le flux de S dans la surface du fil par unité de longueur est égal à 2πa|S| = I 2 R, le
même que le chauffage par unité de longueur.
59.4 En coordonnées cylindriques (z,φ,r) avec z le long de l’axe du câble, B =
Ie φ /2ππ 0 c 2 r et E = Ve r / ln(b/a)r. Donc, S = IVe z /2π ln(b/a)r 2 . Le taux total
d’écoulement d’énergie est dU/dt =
b
a
|S|2πr dr = (IV/ ln(b/a))
b
a
1/r dr = IV.
59.5 (a) ||S| = 2,6 × 10 −5 W m −2
(b) |E max | = 0,14 V m −1 , |B max | = 5 × 10 −10 Wb m −2
59.6 (a) Les conditions aux limites sont que les composantes normale de B et tangentielle de E sont nulles le long de la surface conductrice. Puisque sin(πx/a) = 0
pour x = 0 et x = a, ces conditions sont satisfaites.
(b) S = 0 c
2 E
2
0
k z
ω
sin
2 πx
a
cos
2 (ωt − k z z)e z
−
π
4ωa
sin
2πx
a
sin 2(ωt − k z z)e x
u = 0 E
2
0
sin
2 πx
a
cos
2 (ωt − k z z)
+
π 2 c 2
4ω 2 a 2
cos
2πx
a
− cos 2(ωt − k z z)
(c) dU/dt = 0 c
2 E
2
0
k z
ω
ab
4
(d) u moyenne en temps =
0 E 2
0
2
sin
2 πx
a
+
π 2 c 2
2ω 2 a 2 cos
2πx
a
(e) v g =
taux d’écoulement moyen
moyenne accumulée par unité de longueur
=
dU/dt
b
0
a
0
u moyenne en temps dx dy
=
c 2 k z
ω
But, k z =
ω 2 /c 2 − π 2 /a 2 , so v g = c
1 − π 2 c 2 /a 2 ω 2 = c
1 − (ω c /ω) 2 , avec ω c =
πc/a.
59.7 Avec p à l’origine, orienté le long de l’axe z, et en utilisant des coordonnées sphériques pour le champ (r,θ,φ),
S =
p 2 ω 4
16π 2 0 c 3 r 2 sin
2
θ cos
2
ω(t − r/c) e r .
330
CHAPITRE 59
59.2 U = 960 megatonnes
59.3 Le long du fil il y a une chute de tension de IR par unité de longueur, ce qui
implique qu’il y a un champ E à la surface du fil de force IR (dans la direction
du courant). À la surface du fil, le champ B a une grandeur I/2πa 0 c 2 , où a est le
rayon du fil. Puisque E et B sont perpendiculaires, S = 0 c 2 E× B = −(I 2 R/2πa)e r .
Le flux de S dans la surface du fil par unité de longueur est égal à 2πa|S| = I 2 R, le
même que le chauffage par unité de longueur.
59.4 En coordonnées cylindriques (z,φ,r) avec z le long de l’axe du câble, B =
Ie φ /2ππ 0 c 2 r et E = Ve r / ln(b/a)r. Donc, S = IVe z /2π ln(b/a)r 2 . Le taux total
d’écoulement d’énergie est dU/dt =
b
a
|S|2πr dr = (IV/ ln(b/a))
b
a
1/r dr = IV.
59.5 (a) ||S| = 2,6 × 10 −5 W m −2
(b) |E max | = 0,14 V m −1 , |B max | = 5 × 10 −10 Wb m −2
59.6 (a) Les conditions aux limites sont que les composantes normale de B et tangentielle de E sont nulles le long de la surface conductrice. Puisque sin(πx/a) = 0
pour x = 0 et x = a, ces conditions sont satisfaites.
(b) S = 0 c
2 E
2
0
k z
ω
sin
2 πx
a
cos
2 (ωt − k z z)e z
−
π
4ωa
sin
2πx
a
sin 2(ωt − k z z)e x
u = 0 E
2
0
sin
2 πx
a
cos
2 (ωt − k z z)
+
π 2 c 2
4ω 2 a 2
cos
2πx
a
− cos 2(ωt − k z z)
(c) dU/dt = 0 c
2 E
2
0
k z
ω
ab
4
(d) u moyenne en temps =
0 E 2
0
2
sin
2 πx
a
+
π 2 c 2
2ω 2 a 2 cos
2πx
a
(e) v g =
taux d’écoulement moyen
moyenne accumulée par unité de longueur
=
dU/dt
b
0
a
0
u moyenne en temps dx dy
=
c 2 k z
ω
But, k z =
ω 2 /c 2 − π 2 /a 2 , so v g = c
1 − π 2 c 2 /a 2 ω 2 = c
1 − (ω c /ω) 2 , avec ω c =
πc/a.
59.7 Avec p à l’origine, orienté le long de l’axe z, et en utilisant des coordonnées sphériques pour le champ (r,θ,φ),
S =
p 2 ω 4
16π 2 0 c 3 r 2 sin
2
θ cos
2
ω(t − r/c) e r .
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