Chapitre 58
CHAPITRE 58
58.1 En se plaçant dans la jauge de Lorentz ∇ μ A μ = 0, et en utilisant l’équation (25.22)
du volume II,
∇ μ F μν = ∇ μ ∇ μ A ν − ∇ μ ∇ ν A μ =
2 A ν − ∇ ν (∇ μ A μ ) =
j ν
0
.
58.2 (a) f μ = j ν F μν = ( j · E, ρE + j × B).
(b) La composante temporelle de f μ est la puissance par unité de volume exercée
par les champs sur les charges, et la composante spatiale donne la force par unité
de volume.
58.3 (a) Si F μν est le tenseur électromagnétique correspondant à E et B. Alors B
2
−E
2
=
(1/2)F μν F μν et E· B = F xt F zy + F yt F xz + F zt F yx = (1/8) αβγδ F αβ F γδ (où αβγδ est le
symbole de Levi-Civita) ; les deux sont des produits scalaires de quadri-tenseurs,
donc des invariants de Lorentz.
(b) Ces quantités sont toutes deux nulles pour un rayonnement électromagnétique
se propageant dans le vide.
58.4
u
1 + v 2 =
E × B
E
2
+ B
2
58.7 Prenant z dans le fil parallèle à u, et le point du champ dans le plan xy.
(a) Dans un référentiel stationnaire par rapport au fil,
E = 0,
B =
I
2ππ 0 c 2 r
e φ ,
où r est le rayon vecteur au point du champ et e φ est perpendiculaire au rayon
vecteur et au fil (e φ = − sin φ e x + cos φ e y ).
(b) Dans un référentiel au repos par rapport aux électrons,
E
z = B
z = 0,
E
=
γvI
2ππ 0 c 2 r
e r ,
B
=
γI
2ππ 0 c 2 r
e φ ,
avec γ = 1/
√
1 − v 2 .
58.8 (a) σ = (q e /2πa 2 )
√
1 − v 2
(b) σ h /σ l ≈ 1/1000
58.9 u μ = γ(1,u) et f μ = γ(F · u,F). D’où
f μ u μ = f t u t − f · u = γ
2 (F · u − F · u) = 0
58.10 (a) E =
q
2
√
3ππ 0 a 2
e y
(b) La réponse serait la même.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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CHAPITRE 58
58.1 En se plaçant dans la jauge de Lorentz ∇ μ A μ = 0, et en utilisant l’équation (25.22)
du volume II,
∇ μ F μν = ∇ μ ∇ μ A ν − ∇ μ ∇ ν A μ =
2 A ν − ∇ ν (∇ μ A μ ) =
j ν
0
.
58.2 (a) f μ = j ν F μν = ( j · E, ρE + j × B).
(b) La composante temporelle de f μ est la puissance par unité de volume exercée
par les champs sur les charges, et la composante spatiale donne la force par unité
de volume.
58.3 (a) Si F μν est le tenseur électromagnétique correspondant à E et B. Alors B
2
−E
2
=
(1/2)F μν F μν et E· B = F xt F zy + F yt F xz + F zt F yx = (1/8) αβγδ F αβ F γδ (où αβγδ est le
symbole de Levi-Civita) ; les deux sont des produits scalaires de quadri-tenseurs,
donc des invariants de Lorentz.
(b) Ces quantités sont toutes deux nulles pour un rayonnement électromagnétique
se propageant dans le vide.
58.4
u
1 + v 2 =
E × B
E
2
+ B
2
58.7 Prenant z dans le fil parallèle à u, et le point du champ dans le plan xy.
(a) Dans un référentiel stationnaire par rapport au fil,
E = 0,
B =
I
2ππ 0 c 2 r
e φ ,
où r est le rayon vecteur au point du champ et e φ est perpendiculaire au rayon
vecteur et au fil (e φ = − sin φ e x + cos φ e y ).
(b) Dans un référentiel au repos par rapport aux électrons,
E
z = B
z = 0,
E
=
γvI
2ππ 0 c 2 r
e r ,
B
=
γI
2ππ 0 c 2 r
e φ ,
avec γ = 1/
√
1 − v 2 .
58.8 (a) σ = (q e /2πa 2 )
√
1 − v 2
(b) σ h /σ l ≈ 1/1000
58.9 u μ = γ(1,u) et f μ = γ(F · u,F). D’où
f μ u μ = f t u t − f · u = γ
2 (F · u − F · u) = 0
58.10 (a) E =
q
2
√
3ππ 0 a 2
e y
(b) La réponse serait la même.
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