Annexe C • Réponses
CHAPITRE 53
53.3 En utilisant les notations et les variables données dans l’exercice 53.2, et en remplaçant p par μ où μ = πa 2 i 0 est le moment magnétique du dipôle,
B ϕ = 0,
B θ =
1
c 2 (E θ dipôle électrique),
B r =
1
c 2 (E r dipôle électrique),
E ϕ = −(B ϕ dipôle électrique),
E θ = E r = 0.
53.4 (c) Les champs produits par le dipôle sont
E = −
Q 0 dω 2 sin θ
4ππ 0 c 2 r
cos ω(t − r/c)e θ + O
1
r 2
,
B =
1
c
e r × E
= −
Q 0 dω 2 sin θ
4ππ 0 c 3 r
cos ω(t − r/c)e φ + O
1
r 2
.
Ces résultats sont en accord avec ceux de l’ex. 53.2, avec p = Q 0 d.
53.5 (a) En considérant un court segment de fil de longueur Δz comme un dipôle vu
dans l’ex. 53.4, la charge sur chaque extrémité du dipôle est q =
i dt et le
moment du dipôle est
Δp =
−i 0 sin ωt cos
2πz
λ
dt
Δz
=
i 0
ω
cos
2πz
λ
cos ωt
Δz.
(c) Le moment dipolaire total de l’antenne est p =
λ/4
−λ/4
Δp/Δz dz =
(2i 0 c/ω 2 ) cos ωt. Un seul dipôle avec ce moment donne le même effet.
E
= −
i 0
2ππ 0 cr
sin θ cos ω(t − r/c)e θ + O
1
r 2
.
Nous comparons f (θ) = cos (
π
2 cos θ)/ sin θ avec g(θ) = sin θ :
θ
0 ◦
30 ◦
60 ◦
90 ◦
antenne demi-onde f (θ) 0 0,418 0,816
1
simple dipôle
g(θ) 0 0,500 0,867
1
Note : lim
θ→0
f (θ)/g(θ) = π/4.
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