Annexe C • Réponses
(c) Les termes en x 2 s’annulent lorsque r =
√
5a/2 → a = b, c’est-à-dire lorsque
les boucles sont séparées d’une distance égale à leur rayon. Ensuite, le champ près
du centre est constant en x, sur l’axe, sauf pour des termes en (x/r) 3 et plus.
(d) Avec r =
√
5a/2,
B =
Ia 2
2 0 c 2
2
r 3
e x =
Ia 2
0 c 2 (
√
5a/2) 3
e x
=
8I
5 3/2 a 0 c 2 e x
49.5 Avec l’origine au centre de la boucle et z le long de son axe, on obtient le résultat :
B(z) =
Ia 2
2 0 c 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 e z
49.7 (a) Le champ magnétique B dans le cylindre est celui d’un solénoïde de densité
de courant de surface σv, où σ = λ/2πa est la densité de charge superficielle,
et v = ωa (ω étant la vitesse angulaire du cylindre). Par conséquent, B est parallèle
à l’axe du cylindre, et
B =
σv
0 c 2 =
λω
2ππ 0 c 2 .
(Voir section 13-5 du volume II.) La différence de potentiel V entre le centre du
cylindre et son bord est le travail fourni par unité de charge q déplacée d’un rayon
r = 0 à r = a contre la force F = q(E + u × B), et
V =
a
0
F
q
dr =
a
0
(E + u × B) dr
Dans le cylindre E = 0, u × B = Bv, et v = ωr, et
V =
a
0
λω
2ππ 0 c 2 ωr dr =
λω 2
2ππ 0 c 2
a 2
2
=
λ
4ππ 0
v
c
2
.
(b) Juste en dehors du cylindre, la grandeur du champ électrique est E = σ/ 0 ,
donc λ = 2πaσ = 2πa( 0 E). En substituant 2πa( 0 E) pour λ et ωa pour v dans le
résultat obtenu pour la partie (a) ci-dessus, et en réarrangeant, on trouve que
a
3
min =
2c 2 V
E max ω 2 ,
où ω = 2π/(24 · 60 · 60 s) est la vitesse angulaire de la Terre. Avec V = 10 −6 V
et E max = 10 8 V m −1 , cela donne a ≈ 7 × 10 3 m, donc l’expérience ne peut pas
être faite.
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(c) Les termes en x 2 s’annulent lorsque r =
√
5a/2 → a = b, c’est-à-dire lorsque
les boucles sont séparées d’une distance égale à leur rayon. Ensuite, le champ près
du centre est constant en x, sur l’axe, sauf pour des termes en (x/r) 3 et plus.
(d) Avec r =
√
5a/2,
B =
Ia 2
2 0 c 2
2
r 3
e x =
Ia 2
0 c 2 (
√
5a/2) 3
e x
=
8I
5 3/2 a 0 c 2 e x
49.5 Avec l’origine au centre de la boucle et z le long de son axe, on obtient le résultat :
B(z) =
Ia 2
2 0 c 2 (a 2 + z 2 ) 3/2 e z
49.7 (a) Le champ magnétique B dans le cylindre est celui d’un solénoïde de densité
de courant de surface σv, où σ = λ/2πa est la densité de charge superficielle,
et v = ωa (ω étant la vitesse angulaire du cylindre). Par conséquent, B est parallèle
à l’axe du cylindre, et
B =
σv
0 c 2 =
λω
2ππ 0 c 2 .
(Voir section 13-5 du volume II.) La différence de potentiel V entre le centre du
cylindre et son bord est le travail fourni par unité de charge q déplacée d’un rayon
r = 0 à r = a contre la force F = q(E + u × B), et
V =
a
0
F
q
dr =
a
0
(E + u × B) dr
Dans le cylindre E = 0, u × B = Bv, et v = ωr, et
V =
a
0
λω
2ππ 0 c 2 ωr dr =
λω 2
2ππ 0 c 2
a 2
2
=
λ
4ππ 0
v
c
2
.
(b) Juste en dehors du cylindre, la grandeur du champ électrique est E = σ/ 0 ,
donc λ = 2πaσ = 2πa( 0 E). En substituant 2πa( 0 E) pour λ et ωa pour v dans le
résultat obtenu pour la partie (a) ci-dessus, et en réarrangeant, on trouve que
a
3
min =
2c 2 V
E max ω 2 ,
où ω = 2π/(24 · 60 · 60 s) est la vitesse angulaire de la Terre. Avec V = 10 −6 V
et E max = 10 8 V m −1 , cela donne a ≈ 7 × 10 3 m, donc l’expérience ne peut pas
être faite.
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