Chapitre 45
45.3 Si le champ dans la région vide entre les plaques est E 0 , le champ dans le diélectrique est réduit, E d = E 0 /κ. Le voltage entre les plaques est la somme des voltages
au travers des régions vides et des régions remplies de diélectrique, V = E 0 (d −
t) + E d t. La charge sur les plaques est donc Q = CV = C(E 0 (d − t) + (E 0 /κ)t). Toutefois, si le diélectrique est enlevé, le voltage entre les plaques devient V 0 = E 0 d,
et Q = C 0 V 0 = C 0 E 0 d. Donc, C 0 E 0 d = C(E 0 (d − t) + (E 0 /κ)t), et en résolvant
pour C on obtient le résultat désiré.
45.4 (a) σ pol (surface interne) = −
κ − 1
κ
Q
4πa 2
σ pol (surface externe) =
κ − 1
κ
Q
4πb 2 .
(b) À l’intérieur du diélectrique, ρ pol = 0.
45.5 (a) Si la batterie fournit une charge Δq au condensateur au potentiel V, le travail
fourni est W batt = Δq V. Avant qu’on insère le diélectrique, la capacité est C =
q/V = 0 A/d, où d est la distance entre les plaques. Après l’insertion, la capacité
devient C = q /V = κκ 0 A/d (voir l’équation (10.10) du volume II), si bien que q =
κq. Ainsi, W batt = (q − q)V = qV(κ − 1).
(b) W mec = −
1
2 qV(κ − 1). Ce travail est fourni à l’opérateur.
(c) Dans tout processus où la différence de potentiel entre les plaques d’un condensateur est maintenue et la capacité change, W batt = −2W mec .
45.6 Lorsque l’équilibre a été atteint, la batterie peut être débranchée sans effet, nous
considérons donc seulement le travail fait par la force électrique et la pesanteur :
ΔU grav = −ΔU el . Le centre de masse de l’huile déplacée est à une hauteur de H/2,
pour un petit déplacement du sommet de l’huile ΔH, le travail de la pesanteur
est ΔU grav = Δ(mgH/2) = π(b 2 − a 2 )HρgΔH (en supposant que le niveau du bas
de l’huile n’a pas changé appréciablement). Puisque la charge Q sur les tuyaux
reste constante, alors que leur capacité C change avec la présence de l’huile entre
elles, le travail fait par la force électrique est ΔU el = Δ(Q 2 /2C) = −(Q 2 /2C 2 )ΔC =
−(V 2 /2)ΔC. La capacité par unité de longueur entre les cylindres coaxiaux avec
un diélectrique entre eux est C l = 2ππ 0 κ/ ln (b/a) (comparer avec l’exercice 42.5),
donc ΔC = 2ππ 0 (κ − 1) ΔH/ ln (b/a). En mettant tout cela ensemble, on a
π(b
2
− a
2 )Hρg ΔH = (V
2
/2)2ππ 0 (κ − 1) ΔH/ ln (b/a),
et en résolvant pour H on obtient le résultat désiré.
45.7 Nommons les composantes normale et tangentielle des champs électriques dans
les deux régions, par rapport à leur surface, (E 1n ,E 1t ) et (E 2n ,E 2t ), tels que cot θ 1 =
E 1n /E 1t et cot θ 2 = E 2n /E 2t . Considérons un volume cylindrique d’aire transverse A et de hauteur h avec son axe normal à la frontière et le coupant. En appliquant le théorème de Gauss à l’équation (10.26) du volume II, ∇ · (κE) = ρ libre / 0 ,
on voit que le flux total de κE au travers de la surface de ce volume doit être égale
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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45.3 Si le champ dans la région vide entre les plaques est E 0 , le champ dans le diélectrique est réduit, E d = E 0 /κ. Le voltage entre les plaques est la somme des voltages
au travers des régions vides et des régions remplies de diélectrique, V = E 0 (d −
t) + E d t. La charge sur les plaques est donc Q = CV = C(E 0 (d − t) + (E 0 /κ)t). Toutefois, si le diélectrique est enlevé, le voltage entre les plaques devient V 0 = E 0 d,
et Q = C 0 V 0 = C 0 E 0 d. Donc, C 0 E 0 d = C(E 0 (d − t) + (E 0 /κ)t), et en résolvant
pour C on obtient le résultat désiré.
45.4 (a) σ pol (surface interne) = −
κ − 1
κ
Q
4πa 2
σ pol (surface externe) =
κ − 1
κ
Q
4πb 2 .
(b) À l’intérieur du diélectrique, ρ pol = 0.
45.5 (a) Si la batterie fournit une charge Δq au condensateur au potentiel V, le travail
fourni est W batt = Δq V. Avant qu’on insère le diélectrique, la capacité est C =
q/V = 0 A/d, où d est la distance entre les plaques. Après l’insertion, la capacité
devient C = q /V = κκ 0 A/d (voir l’équation (10.10) du volume II), si bien que q =
κq. Ainsi, W batt = (q − q)V = qV(κ − 1).
(b) W mec = −
1
2 qV(κ − 1). Ce travail est fourni à l’opérateur.
(c) Dans tout processus où la différence de potentiel entre les plaques d’un condensateur est maintenue et la capacité change, W batt = −2W mec .
45.6 Lorsque l’équilibre a été atteint, la batterie peut être débranchée sans effet, nous
considérons donc seulement le travail fait par la force électrique et la pesanteur :
ΔU grav = −ΔU el . Le centre de masse de l’huile déplacée est à une hauteur de H/2,
pour un petit déplacement du sommet de l’huile ΔH, le travail de la pesanteur
est ΔU grav = Δ(mgH/2) = π(b 2 − a 2 )HρgΔH (en supposant que le niveau du bas
de l’huile n’a pas changé appréciablement). Puisque la charge Q sur les tuyaux
reste constante, alors que leur capacité C change avec la présence de l’huile entre
elles, le travail fait par la force électrique est ΔU el = Δ(Q 2 /2C) = −(Q 2 /2C 2 )ΔC =
−(V 2 /2)ΔC. La capacité par unité de longueur entre les cylindres coaxiaux avec
un diélectrique entre eux est C l = 2ππ 0 κ/ ln (b/a) (comparer avec l’exercice 42.5),
donc ΔC = 2ππ 0 (κ − 1) ΔH/ ln (b/a). En mettant tout cela ensemble, on a
π(b
2
− a
2 )Hρg ΔH = (V
2
/2)2ππ 0 (κ − 1) ΔH/ ln (b/a),
et en résolvant pour H on obtient le résultat désiré.
45.7 Nommons les composantes normale et tangentielle des champs électriques dans
les deux régions, par rapport à leur surface, (E 1n ,E 1t ) et (E 2n ,E 2t ), tels que cot θ 1 =
E 1n /E 1t et cot θ 2 = E 2n /E 2t . Considérons un volume cylindrique d’aire transverse A et de hauteur h avec son axe normal à la frontière et le coupant. En appliquant le théorème de Gauss à l’équation (10.26) du volume II, ∇ · (κE) = ρ libre / 0 ,
on voit que le flux total de κE au travers de la surface de ce volume doit être égale
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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