Annexe C • Réponses
(b) E(P) =
q
4ππ 0
x
(x 2 + a 2 ) 3/2 −
1
x 2
e x
(c) Pour x a, E ≈ −
3qa 2
8ππ 0 x 4 e x .
(d) Un dipôle à l’origine produirait un champ E ∝ 1/x 3 (et non E ∝ 1/x 4 ). Nous
avons là une contribution d’ordre supérieur. Une façon de le voir (et de voir que
le moment du dipôle de la configuration donnée est nul) est de constater que nous
avons un effet de dipôles qui se compensent : chaque diamètre de l’anneau est
comme deux dipôles égaux et opposés. L’ordre supérieur est un moment quadrupolaire.
42.13 (a) t 1 = 1000 s
(b) V = 1,5 V
(c) La capacité est réduite de moitié, il y a donc une charge moitié moindre sur les
plaques, et ainsi t 1 = 500 s.
(d) La charge est inchangée, donc t 1 est inchangé.
42.14 (a) y (cm)
0
0,5
1,0
2,0
E (V/m) 0
(0,005) 3
2 0
(0,01) 3
2 0
(0,01) 3
4 0
(b) φ(0,0,0) ≈
(0,01) 4
8 0
(3 + 8 ln 10) V
(C’est une borne supérieure.)
(c) φ(0,5,0,0) < φ(0,0,0)
CHAPITRE 43
43.1 (a) Supposons que les lignes de densité de charge ±λ sont parallèles à l’axe z, et
coupent l’axe x en x = ±d/2. Le potentiel à une distance r d’une ligne de densité
de charge λ est −(λ/2ππ 0 ) ln r. Le potentiel total en un point du plan xy est donc
φ =
λ
2ππ 0
ln
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
(x − d/2) 2 + y 2
(x + d/2) 2 + y 2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Les courbes de potentiel constant doivent donc satisfaire
(x − d/2)
2
+ y
2
= c
(x + d/2)
2
+ y
2
pour une certaine constante c. Cela peut se récrire
x −
1 + c
1 − c
d
2
2
+ y
2
=
cd 2
(1 − c) 2
qui est l’équation d’un cercle.
314
(b) E(P) =
q
4ππ 0
x
(x 2 + a 2 ) 3/2 −
1
x 2
e x
(c) Pour x a, E ≈ −
3qa 2
8ππ 0 x 4 e x .
(d) Un dipôle à l’origine produirait un champ E ∝ 1/x 3 (et non E ∝ 1/x 4 ). Nous
avons là une contribution d’ordre supérieur. Une façon de le voir (et de voir que
le moment du dipôle de la configuration donnée est nul) est de constater que nous
avons un effet de dipôles qui se compensent : chaque diamètre de l’anneau est
comme deux dipôles égaux et opposés. L’ordre supérieur est un moment quadrupolaire.
42.13 (a) t 1 = 1000 s
(b) V = 1,5 V
(c) La capacité est réduite de moitié, il y a donc une charge moitié moindre sur les
plaques, et ainsi t 1 = 500 s.
(d) La charge est inchangée, donc t 1 est inchangé.
42.14 (a) y (cm)
0
0,5
1,0
2,0
E (V/m) 0
(0,005) 3
2 0
(0,01) 3
2 0
(0,01) 3
4 0
(b) φ(0,0,0) ≈
(0,01) 4
8 0
(3 + 8 ln 10) V
(C’est une borne supérieure.)
(c) φ(0,5,0,0) < φ(0,0,0)
CHAPITRE 43
43.1 (a) Supposons que les lignes de densité de charge ±λ sont parallèles à l’axe z, et
coupent l’axe x en x = ±d/2. Le potentiel à une distance r d’une ligne de densité
de charge λ est −(λ/2ππ 0 ) ln r. Le potentiel total en un point du plan xy est donc
φ =
λ
2ππ 0
ln
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
(x − d/2) 2 + y 2
(x + d/2) 2 + y 2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
Les courbes de potentiel constant doivent donc satisfaire
(x − d/2)
2
+ y
2
= c
(x + d/2)
2
+ y
2
pour une certaine constante c. Cela peut se récrire
x −
1 + c
1 − c
d
2
2
+ y
2
=
cd 2
(1 − c) 2
qui est l’équation d’un cercle.
314