Chapitre 42
champ du dipôle à l’extérieur des sphères a un moment p = (4/3)πa 3 σ 0 , alors que
le champ à l’intérieur des sphères est E = −(σ 0 /3 0 ) e z .
42.8 (a) E r =
p
2ππ 0 r 3 cos θ
E θ =
p
4ππ 0 r 3 sin θ
(b) Le points sur une ligne droite qui passe par le dipôle ont les mêmes coordonnées θ et ϕ (seul r varie). La direction du champ électrique est déterminée par le
rapport E θ /E r =
1
2 tan θ, il est donc le même en chaque point.
(c) Pour θ = 0, π/4, et π/2 les angles entre E et p sont respectivement 0, arctan 3,
et π, alors que les intensités relatives de E dans ces directions sont 4 :
√
10 : 2.
42.9 (a) Utiliser la superposition : en prenant le dipôle et le champ dans la même direction x, le potentiel total en (x,y,z) est
φ = −E 0 x +
px
4ππ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 .
En mettant φ = 0 et en réarrangeant on obtient ,
x
2
+ y
2
+ z
2
=
p
4ππ 0 E 0
2/3
,
qui est l’équation d’une sphère de rayon a = (p/4ππ 0 E 0 ) 1/3 .
(b) p = 4ππ 0 E 0 a 3
(d) Les champs ne changeraient pas.
(e) σ(θ) = 3 0 E 0 cos θ
(f) p = 4ππ 0 E 0 a 3 (C’est comme dans l’exemple étudié en Section 6.4 du volume II,
avec le même moment utilisé implicitement. )
(g) Tout problème qui a un potentiel analogue peut être résolu par cette méthode.
42.10 (a) 1. F ≈ (pλ/2ππ 0 r 2 )e r , et τ = 0. (2) F = 0 et τ = (pλ/2ππ 0 r) perpendiculaire au
plan du fil et de la particule.
(b) Soit r le rayon vecteur de la charge négative du dipôle −q, et d le déplacement
de sa charge négative jusqu’à sa charge positive +q. La force totale sur le dipôle
dans un champ électrique E est F = q[E(r + d) − E(r)]. Pour de petits déplacements d, E(r + d) − E(r) = (∂E/∂x)d x + (∂E/∂y)d y + (∂E/∂z)d z = ∇(d · E).
Ainsi F = q∇(d · E) = ∇(qd · E) = ∇(p · E).
42.11 Hors de la feuille, le champ électrique est nul car les champs des charges positives
et négatives se compensent, si bien que le potentiel est constant (indépendant de r).
En prenant un potentiel nul au milieu de la feuille, φ = N p/2 0 d’un côté et φ =
−N p/2 0 de l’autre.
42.12 (a) φ(P) =
q
4ππ 0
1
√
x 2 + a 2
−
1
x
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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champ du dipôle à l’extérieur des sphères a un moment p = (4/3)πa 3 σ 0 , alors que
le champ à l’intérieur des sphères est E = −(σ 0 /3 0 ) e z .
42.8 (a) E r =
p
2ππ 0 r 3 cos θ
E θ =
p
4ππ 0 r 3 sin θ
(b) Le points sur une ligne droite qui passe par le dipôle ont les mêmes coordonnées θ et ϕ (seul r varie). La direction du champ électrique est déterminée par le
rapport E θ /E r =
1
2 tan θ, il est donc le même en chaque point.
(c) Pour θ = 0, π/4, et π/2 les angles entre E et p sont respectivement 0, arctan 3,
et π, alors que les intensités relatives de E dans ces directions sont 4 :
√
10 : 2.
42.9 (a) Utiliser la superposition : en prenant le dipôle et le champ dans la même direction x, le potentiel total en (x,y,z) est
φ = −E 0 x +
px
4ππ 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 .
En mettant φ = 0 et en réarrangeant on obtient ,
x
2
+ y
2
+ z
2
=
p
4ππ 0 E 0
2/3
,
qui est l’équation d’une sphère de rayon a = (p/4ππ 0 E 0 ) 1/3 .
(b) p = 4ππ 0 E 0 a 3
(d) Les champs ne changeraient pas.
(e) σ(θ) = 3 0 E 0 cos θ
(f) p = 4ππ 0 E 0 a 3 (C’est comme dans l’exemple étudié en Section 6.4 du volume II,
avec le même moment utilisé implicitement. )
(g) Tout problème qui a un potentiel analogue peut être résolu par cette méthode.
42.10 (a) 1. F ≈ (pλ/2ππ 0 r 2 )e r , et τ = 0. (2) F = 0 et τ = (pλ/2ππ 0 r) perpendiculaire au
plan du fil et de la particule.
(b) Soit r le rayon vecteur de la charge négative du dipôle −q, et d le déplacement
de sa charge négative jusqu’à sa charge positive +q. La force totale sur le dipôle
dans un champ électrique E est F = q[E(r + d) − E(r)]. Pour de petits déplacements d, E(r + d) − E(r) = (∂E/∂x)d x + (∂E/∂y)d y + (∂E/∂z)d z = ∇(d · E).
Ainsi F = q∇(d · E) = ∇(qd · E) = ∇(p · E).
42.11 Hors de la feuille, le champ électrique est nul car les champs des charges positives
et négatives se compensent, si bien que le potentiel est constant (indépendant de r).
En prenant un potentiel nul au milieu de la feuille, φ = N p/2 0 d’un côté et φ =
−N p/2 0 de l’autre.
42.12 (a) φ(P) =
q
4ππ 0
1
√
x 2 + a 2
−
1
x
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