Annexe C • Réponses
CHAPITRE 40
40.1 (a) φ(P) =
λ
4ππ 0
ln
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
l 2 +
r 2 + l 2
2
−l 1 +
r 2 + l 2
1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
(b) Pour r (l 1 + l 2 ),
φ(P) ≈
λ
4ππ 0
ln
r + l 2
r − l 1
≈
λ(l 1 + l 2 )
4ππ 0 r
=
q
4ππ 0 r
,
où q est la charge totale
(c) Pour P très proche de la ligne de charge (mais loin des extrémités, la symétrie
impose que le champ soit approximativement radial. Donc, pour r (l 1 + l 2 ),
φ(P) ≈
λ
4ππ 0
ln
2l 2
r 2 /2l 1
=
λ
4ππ 0
ln
4l 1 l 2
r 2
,
d’où
E(P) = −
∂φ
∂r
e r ≈
λ
2ππ 0 r
e r .
En appliquant la loi de Gauss à une surface cylindrique entourant une longueur Δz
de la ligne de charge,
S
E · n da ≈ 2πr Δz E r =
λ Δz
0
.
Donc, E(P) ≈ (λ/2ππ 0 r)e r , qui concorde bien.
40.2 E(P) =
σ
2 0
1 −
r
√
r 2 + R 2
e r
40.3 (a) Utiliser E r =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
0
pour r < r a
q /4ππ 0 r 2
pour r a < r < r b
0
pour r b < r < r c
(q + q)/4ππ 0 r 2 pour r > r c
(c) φ(r a ) =
1
4ππ 0
(q + q )
r c
− q
1
r b
−
1
r a
(d) La région r b < r < r c est dans un conducteur où le champ est toujours nul. Les
champs dans la région r > r c , en dehors du conducteur, ne changent pas.
CHAPITRE 41
41.1 Avec l’origine au centre de la sphère S de rayon r, et en utilisant des coordonnées
sphériques (r,θ,ψ), la valeur moyenne de φ sur S est
φ(r) S =
1
4πr 2
S
φ(r,θ,ψ) da
=
1
4π
2π
0
π
0
φ(r,θ,ψ) sin θ dθ dψ
310