Chapitre 39
CHAPITRE 39
39.1 (b) Intégrer les deux membres de l’équation sur un volume fixe V délimité par une
surface S et utiliser le théorème de Gauss.
V
∇ · j dV = −
V
∂ρ
∂t
dV,
S
j · n da = −
d
dt
V
ρ dV,
ou [courant total quittant V] = −[Taux de changement de la charge totale à l’intérieur de V], la charge est conservée.
39.2 Aucun champ magnétique n’est produit ?
39.3 (a)
S
E · n da = 4πK
(b) Conseil : pour éviter la singularité de ∇ · E à l’origine, remplacer la charge
ponctuelle par une sphère équivalente uniformément chargée à l’origine et faire
tendre son rayon vers 0.
(c) E · ds est antisymétrique autour de l’origine par conséquent des morceaux
correspondants d’intégrale curviligne en des côtés opposés s’annulent, donc
E · ds = 0.
Avec le théorème de Stokes,
Γ
E · ds =
S
(∇ × E) · n da,
pour toute surface S bornée par le chemin Γ, mais ∇ × E = 0 en électrostatique,
si bien que l’intégrale est encore nulle.
39.4 (a) V =
1
3
S
R · n da, où n est la normale à l’élément de surface da.
(b) 1. Pour une sphere de rayon r, R · n = r, d’où
V =
r
3
S
da =
r
3
(4πr
2 ) =
4
3
πr
3 .
2. Pour un bloc rectangulaire avec des longueurs de côtés L 1 , L 2 , L 3 , si l’on considère une face, par exemple de côtés L 1 et L 2 ; sur cette face R · n = L 3 /2, et
l’intégrale de la partie (a) donne (1/3)(L 3 /2)(L 1 L 2 ) = L 1 L 2 L 3 /6. Par symétrie, l’intégrale est la même sur chacune des six faces et par conséquent V = L 1 L 2 L 3 .
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