Annexe C • Réponses
En appliquant l’équation (2.59e) du volume II à gauche et l’équation (2) à droite,
c
2
∇(∇ · B) − c
2
∇
2 B = −
∂ 2 B
∂t 2 ,
mais de l’équation (3), ∇ · B = 0.
(e) En utilisant l’équation (2.59b) duvolume II et l’équation (2),
∇ ×
−∇φ −
∂ A
∂t
= −∇ × (∇φ) − ∇ ×
∂ A
∂t
= −
∂
∂t
(∇ × A) = −
∂B
∂t
= ∇ × E.
(f) L’équation (3) dit que ∇ · B = 0. Par l’équation (2.51) du volume II, B peut
donc s’écrire ∇ × A.
38.5 Soit z l’axe de rotation, alors
u = v
⎡
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ −
y
x 2 + y 2
e x +
x
x 2 + y 2
e y
⎤
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
= ω(−ye x + xe y ) pour un rayon constant r.
(a) ∇ · u = ω
−
∂y
∂x
+
∂x
∂y
= 0
(b) ∇ × u =
e x e y e z
∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z
−ωy ωx 0
= 0e x + 0e y + (ω − (−ω))e z = 2ωe z .
38.6 (a) Avec A = A x e x + A y e y + A z e z et R = xe x + ye y + ze z ,
A × R = (zA y − yA z )e x + (xA z − zA x )e y
+(yA x − xA y )e z
∇ × (A × R) =
∂
∂y
(A × R) z −
∂
∂z
(A × R) y
e x + · · ·
= [A x − (−A x )] e x + · · ·
= 2
A x e x + A y e y + A z e z
= 2A.
(b) La preuve que B × (A × C) = A(B · C) − (B · A)C demande que A x (B x C x ) =
C x (A x B x ) mais A x (∂x/∂x) x(∂A x /∂x). L’équation correcte est
∇ × (A × B) = A(∇ · B) − (∇ · A)B + (B · ∇)A − (A · ∇)B.
38.7 (b) ∇ · h est le plus grand au point B ; sa valeur absolue est maximum au point D.
(c) ∇ × h = 0 partout. (h est proportionnel à ∇T et le rotationnel d’un gradient est
toujours nul.)
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