Chapitre 38
(d) ∇ × (R/R
3 )
=
∂
∂y
z
R 3 −
∂
∂z
y
R 3
e x +
∂
∂z
x
R 3 −
∂
∂x
z
R 3
e y
+ · · ·
=
3yz
R 5 −
3yz
R 5
e x + · · · = 0
(e) ∇(1/R)
=
∂
∂x
1
(x 2 + y 2 + z 2 ) 1/2 e x +
∂
∂y
1
R
e y +
∂
∂z
1
R
e z
= −
1
2
2x
(x 2 + y 2 + z 2 ) 3/2 −
∂
∂y
y
R 3 −
∂
∂z
z
R 3
= −
xe x + ye y + ze z
R 3
= −R/R
3
(f) ϕ = R
2
/2 + constante
38.4 (a) Prenant la divergence des deux membres de l’équation (2),
∇ · (∇ × E) = ∇ ·
−
∂B
∂t
= −
∂
∂t
(∇ · B),
mais la divergence d’un rotationnel est toujours nulle [voir l’équation (2.59d) dans
le volume II], et le membre de gauche est 0, se qui est cohérent avec ∇ · B = 0.
(b) La divergence du membre de gauche de équation (4) est
∇ · (c
2
∇ × B) = c
2
∇ · (∇ × B) = 0,
qui doit être égal à la divergence du côté droit, donc
0 = ∇ ·
∂E
∂t
+
j
0
=
∂
∂t
∇ · E +
∇ · j
0
=
∂
∂t
(ρ/ 0 ) +
∇ · j
0
.
(c) En utilisant l’équation (2.59e) du volume II, le rotationnel du membre de
gauche de l’équation (2) est
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇
2 E,
qui doit être égal au rotationnel du membre de droite,
∇ ×
−
∂B
∂t
= −
∂
∂t
(∇ × B) = −
1
c 2
∂
∂t
∂E
∂t
+
j
0
,
alors que dans l’espace vide ∇ · E = ρ/ 0 = 0 et j = 0.
(d) Pour j = 0, le rotationnel de l’équation (4) donne
c
2
∇ × (∇ × B) =
∂
∂t
(∇ × E).
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