83. La dépendance des amplitudes dans la position
Figure 83.2
V0
x = a
x = 0
V = ∞
(a)
V0
x = a
x = 0
x = − a
V0
(b)
(a) Trouver la valeur de V 0 telle que l’énergie de la particule dans l’état fondamental
de ce puits soit inférieure de 10 % à l’énergie dans l’état fondamental d’un puits
avec V 0 → ∞.
(b) On prend pour V 0 la valeur trouvée ci-dessus dans le puits de potentiel de la figure 83.2(b), défini par :
V =
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
V 0 ,
x < −a
0,
−a < x < a
V 0 ,
x > a
Sans calcul détaillé, donner l’énergie du premier état excité de ce puits.
Exercice 83.3 Soit le problème à une dimension d’une particule de masse m liée dans
un puits de potentiel rectangulaire :
V =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
V 0 , |x| > a
0,
|x| < a
(a) Montrer qu’on obtient les deux équations suivantes en imposant que les fonctions
d’onde soient des solutions de l’équation de Schrödinger qui satisfont les conditions aux limites requises :
α cot (αa) = −β,
or
α tan (αa) = +β,
où
α = +
2mE
2 ,
β = +
2m(V 0 − E)
2
.
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