82. L’approximation des particules indépendantes
Figure 82.2
C
C
C
C
C
C
H
H
H
H
H
H
(a)
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
C
H
(b)
Exercice 82.3 Un matériau ferromagnétique à très basse température peut être discuté
dans des termes semblables aux ondes de spin discutées au chapitre 15 du volume III.
Très précisément, pour un mode quelconque K d’énergie E K ≈ Ab 2 K 2 , il y a une distribution de probabilité, reposant sur la thermodynamique, pour trouver soit aucun, soit
un, soit deux, soit trois, etc., spins vers le bas dans un matériau ferromagnétique qui, à
température nulle, a tous ses spins alignés vers le haut.
(a) Montrer que, pour le mode K, le nombre moyen d’atomes avec le spin vers le bas
est proportionnel à
1
e E K /kt − 1
.
(b) Si on étend ces idées à trois dimensions, alors E K ≈ Ab 2 (K 2
x +K 2
y +K 2
z ) et le nombre
moyen total de spins vers le bas par unité de volume est donné par
Nombre de spins en bas
volume
=
d 3 K/(2π) 3
e E K /kt − 1
.
Montrer pourquoi.
(c) Dans la limite où T tend vers zéro, la magnétisation tend vers la magnétisation de
saturation, M sat . Montrer qu’à basse température le rapport de la magnétisation à
la magnétisation de saturation a la forme
M
M sat
= 1 − const T
3/2
= 1 −
kT
4πA
3/2
4
√ π
∞
0
x 2 dx
e x 2 − 1
(d) Évaluer l’intégrale dans la partie (c) ci-dessus en développant l’intégrand en série.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
259