80. Propagation dans un réseau cristallin
On considère le cas où A i j = A ji = −A et A j j = A ii = −B.
(a) En suivant la procédure décrite au chapitre 13 du volume III, trouver les valeurs
permises pour l’énergie d’un tel système.
(b) Décrire la structure de bande dans les cas |E i − E j | | 2B, et |E i − E j | | 2B.
Vérifier ces résultats avec la solution trouvée au chapitre 13.
Exercice 80.2 On considère une ligne infinie d’atomes composée de deux types
d’atomes, le type « a » et le type « b », comme sur la figure 80.1. Soit C a
n l’amplitude pour
qu’un électron se trouve sur le site n de type « a », et C b
n celle qu’il se trouve sur le site
n de type « b ». On suppose que l’énergie d’un électron sur un atome « a » est E 0 + ΔE
alors que sur un atome « b » elle est E 0 − ΔE. On suppose, en outre, que l’Hamitonien
possède des éléments de matrice égaux à −A pour les sauts entre plus proches voisins.
L’espacement des atomes est b.
Figure 80.1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n− 2 n− 2 n− 1 n− 1 n
n n+1 n+1 n+2
(a) Calculer et esquisser l’énergie d’un état stationnaire en fonction du nombre
d’onde k de l’électron. (Il y aura deux énergies pour une valeur données de k.)
(b) Quelles limites peut-on mettre sur k, de façon à inclure chaque état une fois et une
seule ?
Exercice 80.3 Diffusion sur une impureté. En se rapportant à l’exemple de la section 13.6 du volume III, on va faire que l’atome n = 0 soit différent d’une autre manière.
Soit H 00 = E 0 , H 01 = H 10 = H 0(−1) = H (−1)0 = −B, où B A.
(a) Trouver l’amplitude de transmission γ, et l’amplitude de réflexion (diffusion) β.
(b) Vérifier que |β| 2 + |γ| 2 = 1.
Exercice 80.4 Pour l’exercice 80.3 et pour l’exemple de la section 13.6 du volume III,
γ = 1 + β. Il est facile de vérifier que γ = 1 + β est également vrai dans le cas général
qui combine les deux. « La conservation des particles » donne par conséquent, pour le
cas général de la diffusion à une dimension :
|β|
2
+ |1 + β|
2
= 1.
(a) Montrer que cela demande que Re [β/(1 + β)] = 0.
(b) Montrer que β peu s’écrire :
β = ie
iη sin η,
où η est réel.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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On considère le cas où A i j = A ji = −A et A j j = A ii = −B.
(a) En suivant la procédure décrite au chapitre 13 du volume III, trouver les valeurs
permises pour l’énergie d’un tel système.
(b) Décrire la structure de bande dans les cas |E i − E j | | 2B, et |E i − E j | | 2B.
Vérifier ces résultats avec la solution trouvée au chapitre 13.
Exercice 80.2 On considère une ligne infinie d’atomes composée de deux types
d’atomes, le type « a » et le type « b », comme sur la figure 80.1. Soit C a
n l’amplitude pour
qu’un électron se trouve sur le site n de type « a », et C b
n celle qu’il se trouve sur le site
n de type « b ». On suppose que l’énergie d’un électron sur un atome « a » est E 0 + ΔE
alors que sur un atome « b » elle est E 0 − ΔE. On suppose, en outre, que l’Hamitonien
possède des éléments de matrice égaux à −A pour les sauts entre plus proches voisins.
L’espacement des atomes est b.
Figure 80.1
a
b
a
b
a
b
a
b
a
n− 2 n− 2 n− 1 n− 1 n
n n+1 n+1 n+2
(a) Calculer et esquisser l’énergie d’un état stationnaire en fonction du nombre
d’onde k de l’électron. (Il y aura deux énergies pour une valeur données de k.)
(b) Quelles limites peut-on mettre sur k, de façon à inclure chaque état une fois et une
seule ?
Exercice 80.3 Diffusion sur une impureté. En se rapportant à l’exemple de la section 13.6 du volume III, on va faire que l’atome n = 0 soit différent d’une autre manière.
Soit H 00 = E 0 , H 01 = H 10 = H 0(−1) = H (−1)0 = −B, où B A.
(a) Trouver l’amplitude de transmission γ, et l’amplitude de réflexion (diffusion) β.
(b) Vérifier que |β| 2 + |γ| 2 = 1.
Exercice 80.4 Pour l’exercice 80.3 et pour l’exemple de la section 13.6 du volume III,
γ = 1 + β. Il est facile de vérifier que γ = 1 + β est également vrai dans le cas général
qui combine les deux. « La conservation des particles » donne par conséquent, pour le
cas général de la diffusion à une dimension :
|β|
2
+ |1 + β|
2
= 1.
(a) Montrer que cela demande que Re [β/(1 + β)] = 0.
(b) Montrer que β peu s’écrire :
β = ie
iη sin η,
où η est réel.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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