78. Davantage de systèmes à deux états
Exercice 78.4 Considérons six atomes répartis de façon symétrique autour d’un
cercle, comme sur la figure 78.1. Ajoutons un électron et définissons les états de base
| 1, | 2, . . . | 6, où | 1 signifie que l’électron est sur l’atome 1, | 2 sur l’atome 2, etc.
On suppose que l’électron supplémentaire a une amplitude par unité de temps bien définie −iA/ pour sauter de n’importe quel atome (sur lequel il se trouve) vers n’importe
lequel de ses plus proches voisins ; et une amplitude nulle pour sauter plus loin.
Figure 78.1
1
2
3
4
5
6
(a) Montrer que | I est un état stationnaire si les amplitudes C k = k | I, | k étant
k ième état de base, sont tous égaux à (1/
√
6) exp (−
i
E I t).
(b) Trouver E I dans la question précédente.
(c) Combien d’états staitonnaires y a-t-il ?
On peut montrer que si ψ est un état stationnaire, les amplitudes C k = k | ψ sont
reliées de la façon suivante pourvu que δ soit bien choisi :
C 2 = C 1 e
iδ
C 3 = C 2 e
iδ
C 4 = C 3 e
iδ
C 5 = C 4 e
iδ
C 6 = C 5 e
iδ
(d) Quelles sont les valeurs permises de δ ?
(e) Trouver le diagramme des niveaux d’énergie du système et donner l’espacement
des niveaux.
Exercice 78.5 Une molécule est faite de trois atomes semblables placés aux sommets
d’un triangle équilatéral. Dans l’ion négatif de cette molécule, un électron additionnel
est ajouté qui peut sauter d’un atome à l’autre.
Figure 78.2
E
(a) Poser que l’élément de matrice de l’Hamiltonien pour sauter d’un atome quelconque à un autre est égal à −A et calculer l’espacement des énergies de l’ion
moléculaire.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 78.4 Considérons six atomes répartis de façon symétrique autour d’un
cercle, comme sur la figure 78.1. Ajoutons un électron et définissons les états de base
| 1, | 2, . . . | 6, où | 1 signifie que l’électron est sur l’atome 1, | 2 sur l’atome 2, etc.
On suppose que l’électron supplémentaire a une amplitude par unité de temps bien définie −iA/ pour sauter de n’importe quel atome (sur lequel il se trouve) vers n’importe
lequel de ses plus proches voisins ; et une amplitude nulle pour sauter plus loin.
Figure 78.1
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(a) Montrer que | I est un état stationnaire si les amplitudes C k = k | I, | k étant
k ième état de base, sont tous égaux à (1/
√
6) exp (−
i
E I t).
(b) Trouver E I dans la question précédente.
(c) Combien d’états staitonnaires y a-t-il ?
On peut montrer que si ψ est un état stationnaire, les amplitudes C k = k | ψ sont
reliées de la façon suivante pourvu que δ soit bien choisi :
C 2 = C 1 e
iδ
C 3 = C 2 e
iδ
C 4 = C 3 e
iδ
C 5 = C 4 e
iδ
C 6 = C 5 e
iδ
(d) Quelles sont les valeurs permises de δ ?
(e) Trouver le diagramme des niveaux d’énergie du système et donner l’espacement
des niveaux.
Exercice 78.5 Une molécule est faite de trois atomes semblables placés aux sommets
d’un triangle équilatéral. Dans l’ion négatif de cette molécule, un électron additionnel
est ajouté qui peut sauter d’un atome à l’autre.
Figure 78.2
E
(a) Poser que l’élément de matrice de l’Hamiltonien pour sauter d’un atome quelconque à un autre est égal à −A et calculer l’espacement des énergies de l’ion
moléculaire.
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