Exercices pour le cours de physique de Feynman
Exercice 77.2 Une particule de spin 1/2 (moment magnétique μ) est placée dans un
fort champ magnétique B 0 . Un champ magnétique oscillant 2B n cos ωt dont la grandeur
est beaucoup plus faible que B 0 est appliqué dans une direction perpendiculaire à B 0 .
Si les spins des particules étaient initialement alignés dans une direction opposée à B 0 ,
quelle est la probabilité P (t) que les spins soient alignés parallèlement à B 0 à au instant t ?
78. DAVANTAGE DE SYSTÈMES À DEUX ÉTATS
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 11.
Exercice 78.1
(a) Montrer que les matrices de Pauli du spin peuvent être traitées comme les composantes d’un vecteur σ obéissant aux règles suivantes :
σ × σ = 2iσ
σ · σ = 3
1 0
0 1
(b) Trouver σ x , σ y , et σ z .
Exercice 78.2 Le dioxyde de carbone est une molécule linéaire (OCO) qui aime bien
prendre un électron supplémentaire et devenir ainsi un ion négatif. Imaginons que cet
électron ait l’énergie E O s’il est lié à l’un quelconque des atomes d’oxygène, et l’énergie E C s’il est lié à l’atome de carbone. Les états stationnaires, toutefois, n’ont pas nécessairement ces énergies car il y a une petite probabilité que l’électron saute entre un
atome d’oxygène et un atome de carbone. (On supposera que la probabilité de faire un
grand saut d’un oxygène à l’autre est négligeable.)
(a) Trouver les niveaux d’énergie possibles de l’ion CO 2 en termes de E O , de E C , et
d’un autre paramètre.
(b) Donner une description physique de chaque état stationnaire, dans le cas où les
énergies E O et E C sont égales.
Exercice 78.3 Dans la molécule de méthane, quatre atomes d’hydrogène sont placés
aux quatre coins d’un tétraèdre avec un seul atome de carbone au centre. Dans l’ion
méthane, un électron manque sur l’un des quatre liens, ce qui laisse un « trou » qui peut
« sauter » de n’importe quel atome H à un autre. C’est là l’exemple d’un système à quatre
états. En utilisant des arguments de symétrie pour réduire au maximum le nombre d’éléments de matrice différentes de l’Hamiltonien, prévoir le nombre de niveaux d’énergie
différents que l’on s’attend à observer dans la structure électronique de l’ion méthane.
Exprimer la séparation des niveaux à partir du plus petit nombre d’éléments de matrice
possible.
252
Exercice 77.2 Une particule de spin 1/2 (moment magnétique μ) est placée dans un
fort champ magnétique B 0 . Un champ magnétique oscillant 2B n cos ωt dont la grandeur
est beaucoup plus faible que B 0 est appliqué dans une direction perpendiculaire à B 0 .
Si les spins des particules étaient initialement alignés dans une direction opposée à B 0 ,
quelle est la probabilité P (t) que les spins soient alignés parallèlement à B 0 à au instant t ?
78. DAVANTAGE DE SYSTÈMES À DEUX ÉTATS
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 11.
Exercice 78.1
(a) Montrer que les matrices de Pauli du spin peuvent être traitées comme les composantes d’un vecteur σ obéissant aux règles suivantes :
σ × σ = 2iσ
σ · σ = 3
1 0
0 1
(b) Trouver σ x , σ y , et σ z .
Exercice 78.2 Le dioxyde de carbone est une molécule linéaire (OCO) qui aime bien
prendre un électron supplémentaire et devenir ainsi un ion négatif. Imaginons que cet
électron ait l’énergie E O s’il est lié à l’un quelconque des atomes d’oxygène, et l’énergie E C s’il est lié à l’atome de carbone. Les états stationnaires, toutefois, n’ont pas nécessairement ces énergies car il y a une petite probabilité que l’électron saute entre un
atome d’oxygène et un atome de carbone. (On supposera que la probabilité de faire un
grand saut d’un oxygène à l’autre est négligeable.)
(a) Trouver les niveaux d’énergie possibles de l’ion CO 2 en termes de E O , de E C , et
d’un autre paramètre.
(b) Donner une description physique de chaque état stationnaire, dans le cas où les
énergies E O et E C sont égales.
Exercice 78.3 Dans la molécule de méthane, quatre atomes d’hydrogène sont placés
aux quatre coins d’un tétraèdre avec un seul atome de carbone au centre. Dans l’ion
méthane, un électron manque sur l’un des quatre liens, ce qui laisse un « trou » qui peut
« sauter » de n’importe quel atome H à un autre. C’est là l’exemple d’un système à quatre
états. En utilisant des arguments de symétrie pour réduire au maximum le nombre d’éléments de matrice différentes de l’Hamiltonien, prévoir le nombre de niveaux d’énergie
différents que l’on s’attend à observer dans la structure électronique de l’ion méthane.
Exprimer la séparation des niveaux à partir du plus petit nombre d’éléments de matrice
possible.
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