Exercices pour le cours de physique de Feynman
Par exemple, pour l’électron nous avons μ = −(g e /m)J (g e = 2), alors que pour un
positron μ = +(g e /m)J. Les valeurs possibles de J z sont ±/2, et la dépendance en
temps des amplitudes est donnée dans la Table .2, où (t,Be z ) représente le fait que notre
« appareil » consiste à attendre un certain temps t dans le champ magnétique B = Be z .
Notons, comme cela a été dit dans un cours, que le signe des exposants de l’équation (7.36) du volume III doivent être inversés, car pour le muon négatif, comme pour
l’électron, μ et J sont antiparallèles.
Dans les problèmes suivants nous allons considérer des particules de spin 1/2
avec |μ z | = μ mais la direction relative de μ et J n’est pas précisée. Pour que vos réponses soient en accord avec celles données dans l’appendice, il faut supposer dans vos
solutions (comme nous dans les nôtres) que μ et J sont parallèles. (S’ils étaient antiparallèles dans une situation donnée, on trouverait le bon résultat en remplaçant μ par −μ.)
Exercice 75.1 Un faisceau de particules de spin 1/2 et de moment magnétique μ est
envoyé dans un filtre de Stern-Gerlach qui ne laisse passer que les particules dans l’état
| + (spin vers le haut) par rapport à l’axe z. Les particules passent ensuite un temps T
dans un champ magnétique uniforme B 0 qui est parallèle à l’axe x. Après avoir quitté le
champ uniforme, les particules entrent dans un deuxième filtre de Stern-Gerlach qui ne
laisse passer que les particules dans l’état | −− (spin vers le bas) par rapport à l’axe z.
(a) Quelle est la plus petite valeur de B 0 pour laquelle toutes les particules passent au
travers du deuxième filtre ?
(b) Si les particules passent un temps deux fois plus court dans le même champ, quelle
est la probabilité P qu’elles passent au travers du second filtre ?
Exercice 75.2 Un faisceau de particules de spin 1/2 et de moment magnétique μ est
envoyé dans un filtre de Stern-Gerlach qui ne laisse passer que les particules dans l’état
| + (spin vers le haut) par rapport à l’axe z. Le faisceau va alors entrer dans un champ
magnétique qui est à 45 ◦ de l’axe z dans le plan xz. À un instant t plus tard, quelles
sont les probabilités P +x (t) et P +y (t) que les particules soient trouvées, respectivement,
avec J x = /2 ou avec J y = /2 ?
Exercice 75.3 Une particule de spin 1/2 a un spin pointant dans la direction +z à
l’instant t = 0. La particule est située dan un appareil tel que l’amplitude par unité de
temps de passer de l’état +z à l’état −z est la même que l’amplitude de passer de l’état
−z à l’état +z et toutes deux sont égales à i fois une constante positive (A/), c’est-à-dire
que, H 12 = H 21 = −A. De plus, H 11 = H 22 et ils peuvent tous deux être choisis égaux à
zéro.
(a) Quelle est la probabilité P +z (t) de trouver la particule dans l’état +z à un instant
t > 0 ?
(b) Trouver les deux combinaisons d’amplitudes d’être dans les états +z et −z qui
correspondent à des états stationnaires. Quelle sont les énergies de ces états ?
250
Par exemple, pour l’électron nous avons μ = −(g e /m)J (g e = 2), alors que pour un
positron μ = +(g e /m)J. Les valeurs possibles de J z sont ±/2, et la dépendance en
temps des amplitudes est donnée dans la Table .2, où (t,Be z ) représente le fait que notre
« appareil » consiste à attendre un certain temps t dans le champ magnétique B = Be z .
Notons, comme cela a été dit dans un cours, que le signe des exposants de l’équation (7.36) du volume III doivent être inversés, car pour le muon négatif, comme pour
l’électron, μ et J sont antiparallèles.
Dans les problèmes suivants nous allons considérer des particules de spin 1/2
avec |μ z | = μ mais la direction relative de μ et J n’est pas précisée. Pour que vos réponses soient en accord avec celles données dans l’appendice, il faut supposer dans vos
solutions (comme nous dans les nôtres) que μ et J sont parallèles. (S’ils étaient antiparallèles dans une situation donnée, on trouverait le bon résultat en remplaçant μ par −μ.)
Exercice 75.1 Un faisceau de particules de spin 1/2 et de moment magnétique μ est
envoyé dans un filtre de Stern-Gerlach qui ne laisse passer que les particules dans l’état
| + (spin vers le haut) par rapport à l’axe z. Les particules passent ensuite un temps T
dans un champ magnétique uniforme B 0 qui est parallèle à l’axe x. Après avoir quitté le
champ uniforme, les particules entrent dans un deuxième filtre de Stern-Gerlach qui ne
laisse passer que les particules dans l’état | −− (spin vers le bas) par rapport à l’axe z.
(a) Quelle est la plus petite valeur de B 0 pour laquelle toutes les particules passent au
travers du deuxième filtre ?
(b) Si les particules passent un temps deux fois plus court dans le même champ, quelle
est la probabilité P qu’elles passent au travers du second filtre ?
Exercice 75.2 Un faisceau de particules de spin 1/2 et de moment magnétique μ est
envoyé dans un filtre de Stern-Gerlach qui ne laisse passer que les particules dans l’état
| + (spin vers le haut) par rapport à l’axe z. Le faisceau va alors entrer dans un champ
magnétique qui est à 45 ◦ de l’axe z dans le plan xz. À un instant t plus tard, quelles
sont les probabilités P +x (t) et P +y (t) que les particules soient trouvées, respectivement,
avec J x = /2 ou avec J y = /2 ?
Exercice 75.3 Une particule de spin 1/2 a un spin pointant dans la direction +z à
l’instant t = 0. La particule est située dan un appareil tel que l’amplitude par unité de
temps de passer de l’état +z à l’état −z est la même que l’amplitude de passer de l’état
−z à l’état +z et toutes deux sont égales à i fois une constante positive (A/), c’est-à-dire
que, H 12 = H 21 = −A. De plus, H 11 = H 22 et ils peuvent tous deux être choisis égaux à
zéro.
(a) Quelle est la probabilité P +z (t) de trouver la particule dans l’état +z à un instant
t > 0 ?
(b) Trouver les deux combinaisons d’amplitudes d’être dans les états +z et −z qui
correspondent à des états stationnaires. Quelle sont les énergies de ces états ?
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