75. L’Hamiltonien matriciel
(b) Montrer, en mécanique quantique, qu’une telle particule va « précesser » (utiliser
les coefficients de la section 5.7 du volume III, pour faire un raisonnement analogue
à celui de la section 7.5.).
(c) Suggérer au moins deux moyens indépendants qui permettraient de mesurer μ
expérimentalement.
75. L’HAMILTONIEN MATRICIEL
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 8.
• Remarques sur la définition des états de base :
Notre définition initiale des états « + » et « − » reposait sur la déviation par rapport à la
direction de B et de ∇ · B (qui étaient tous deux dans la direction +z) dans un appareil
de Stern-Gerlach. Puisque, dans le plan de symétrie, F = −∇ · U = μ z (∂B/∂z)e z , on
voit que l’appareil de S-G mesurait la composante du moment magnétique μ, et non du
moment cinétique (ou spin) J. Mais le moment cinétique J est, par beaucoup d’aspects,
une quantité plus fondamentale que μ, et nous préférons définir nos états de base à partir
de la valeur de J. Par conséquent, nous devons redéfinir les états de base dans les systèmes où μ et J sont antiparallèles (comme l’électron, et les systèmes atomiques). Mais
nous ne sommes pas obligés de changer nos matrices de rotation, car elles provenaient
des propriétés de l’espace à trois dimensions, et nous avions le choix des phases relatives de certains éléments. La convention consistant à définir les états de base suivant
la valeur de J z est, de fait, celle qui est utilisée plus tard dans le texte. Dans les tables
du chapitre 12 du volume III, par exemple, les états sont définis à partir du signe du
nombre m = J z /. Dans la section 7.5, le muon négatif est considéré comme étant dans
l’état | + par rapport à l’axe x lorsque son spin pointe dans la direction de +x, même si
son moment magnétique pointe alors dans la direction −x.
Avec cette convention, la direction de μ par rapport à J n’entre pas en ligne de compte
dans une rotation des coordonnées, mais elle doit être prise en compte lorsque nous
considérons les forces et l’énergie.
Pour une particule dans un champ magnétique uniforme, par exemple, les états de
base dans un système de coordonnées où l’axe z est parallèle à B sont aussi des états
stationnaires (leur énergie est constante). La dépendance en temps des amplitudes est
donnée par e −iEt/ , où E = U = −μ · B = μ z B. Il est clair que pour un état de J z donné,
le signe de l’exposant va dépendre du fait que μ et J sont parallèles ou antiparallèles.
(t,Be z ) | + |−−
+ |
e
iγt
0
− |
0
e
−iγt
γ =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
+g e B/2m pour le positron
−g e B/2m pour l’électron
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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(b) Montrer, en mécanique quantique, qu’une telle particule va « précesser » (utiliser
les coefficients de la section 5.7 du volume III, pour faire un raisonnement analogue
à celui de la section 7.5.).
(c) Suggérer au moins deux moyens indépendants qui permettraient de mesurer μ
expérimentalement.
75. L’HAMILTONIEN MATRICIEL
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 8.
• Remarques sur la définition des états de base :
Notre définition initiale des états « + » et « − » reposait sur la déviation par rapport à la
direction de B et de ∇ · B (qui étaient tous deux dans la direction +z) dans un appareil
de Stern-Gerlach. Puisque, dans le plan de symétrie, F = −∇ · U = μ z (∂B/∂z)e z , on
voit que l’appareil de S-G mesurait la composante du moment magnétique μ, et non du
moment cinétique (ou spin) J. Mais le moment cinétique J est, par beaucoup d’aspects,
une quantité plus fondamentale que μ, et nous préférons définir nos états de base à partir
de la valeur de J. Par conséquent, nous devons redéfinir les états de base dans les systèmes où μ et J sont antiparallèles (comme l’électron, et les systèmes atomiques). Mais
nous ne sommes pas obligés de changer nos matrices de rotation, car elles provenaient
des propriétés de l’espace à trois dimensions, et nous avions le choix des phases relatives de certains éléments. La convention consistant à définir les états de base suivant
la valeur de J z est, de fait, celle qui est utilisée plus tard dans le texte. Dans les tables
du chapitre 12 du volume III, par exemple, les états sont définis à partir du signe du
nombre m = J z /. Dans la section 7.5, le muon négatif est considéré comme étant dans
l’état | + par rapport à l’axe x lorsque son spin pointe dans la direction de +x, même si
son moment magnétique pointe alors dans la direction −x.
Avec cette convention, la direction de μ par rapport à J n’entre pas en ligne de compte
dans une rotation des coordonnées, mais elle doit être prise en compte lorsque nous
considérons les forces et l’énergie.
Pour une particule dans un champ magnétique uniforme, par exemple, les états de
base dans un système de coordonnées où l’axe z est parallèle à B sont aussi des états
stationnaires (leur énergie est constante). La dépendance en temps des amplitudes est
donnée par e −iEt/ , où E = U = −μ · B = μ z B. Il est clair que pour un état de J z donné,
le signe de l’exposant va dépendre du fait que μ et J sont parallèles ou antiparallèles.
(t,Be z ) | + |−−
+ |
e
iγt
0
− |
0
e
−iγt
γ =
⎧
⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎩
+g e B/2m pour le positron
−g e B/2m pour l’électron
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