Exercices pour le cours de physique de Feynman
(a) Si l’on néglige l’interaction entre les électrons, montrer que chaque mode de la
boîte est occupé par seulement deux électrons, pourvu que l’impulsion du mode
k = p a une grandeur inférieure à p max où
N =
1
(2π) 3
p max
0
V · 2 · 4πp
2 dp.
(b) Quelle est l’énergie U de tous les électrons ? Exprimer cette énergie interne U en
fonction du volume de la boîte.
(c) Trouver la pression exercée par ce « gaz d’électrons dégénéré ». Montrer que la
relation pression-volume est de la forme PV γ = constante.
(d) Trouver γ.
Exercice 71.13 La matière dans les étoiles naines blanches est si hautement comprimée que la théorie de l’exercice 71.12 s’applique à elles. Soit ρ la densité de matière,
ρ/2M p le nombre de protons par mètre cube, où M p est la masse d’un proton, nous supposons que les noyaux ont autant de neutrons que de protons. (On pose donc N/V = ρ/2M p
dans les équations de l’exercice 71.12.)
Les équations de l’équilibre d’une étoile faite d’une pareille matière maintenue par la
gravitation sont données dans un livre d’astrophysique comme :
P = Aρ
5/3 ,
dP/dr = −GρM(r)/r
2 ,
dM(r)/dr = 4πρr
2 ,
où r est la distance radiale au centre de l’étoile, M(r) la masse à l’intérieur d’une sphère
de rayon r, P la pression, et A une constante numérique.
(a) Pouvez-vous expliquer la raison d’être de ces équations ?
(b) Pouvez-vous donner une formule ou une valeur numérique pour la constante A ?
On peut supposer que toute la pression est exercée par les électrons dégénérés, les
noyaux n’ayant pratiquement par d’effet (pourquoi ?).
72. LE SPIN UN
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 5.
Exercice 72.1 Démontrer l’affirmation de la section 5.6 du volume III, selon laquelle
si l’appareil de Stern et Gerlach C du spin 1 peut être divisé en deux parties, A et B, alors
χ | C | φ =
k
χ | B | kk | A | φ
où k = −, 0, + sont les états de base du spin 1.
242
(a) Si l’on néglige l’interaction entre les électrons, montrer que chaque mode de la
boîte est occupé par seulement deux électrons, pourvu que l’impulsion du mode
k = p a une grandeur inférieure à p max où
N =
1
(2π) 3
p max
0
V · 2 · 4πp
2 dp.
(b) Quelle est l’énergie U de tous les électrons ? Exprimer cette énergie interne U en
fonction du volume de la boîte.
(c) Trouver la pression exercée par ce « gaz d’électrons dégénéré ». Montrer que la
relation pression-volume est de la forme PV γ = constante.
(d) Trouver γ.
Exercice 71.13 La matière dans les étoiles naines blanches est si hautement comprimée que la théorie de l’exercice 71.12 s’applique à elles. Soit ρ la densité de matière,
ρ/2M p le nombre de protons par mètre cube, où M p est la masse d’un proton, nous supposons que les noyaux ont autant de neutrons que de protons. (On pose donc N/V = ρ/2M p
dans les équations de l’exercice 71.12.)
Les équations de l’équilibre d’une étoile faite d’une pareille matière maintenue par la
gravitation sont données dans un livre d’astrophysique comme :
P = Aρ
5/3 ,
dP/dr = −GρM(r)/r
2 ,
dM(r)/dr = 4πρr
2 ,
où r est la distance radiale au centre de l’étoile, M(r) la masse à l’intérieur d’une sphère
de rayon r, P la pression, et A une constante numérique.
(a) Pouvez-vous expliquer la raison d’être de ces équations ?
(b) Pouvez-vous donner une formule ou une valeur numérique pour la constante A ?
On peut supposer que toute la pression est exercée par les électrons dégénérés, les
noyaux n’ayant pratiquement par d’effet (pourquoi ?).
72. LE SPIN UN
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Mécanique quantique, Chap. 5.
Exercice 72.1 Démontrer l’affirmation de la section 5.6 du volume III, selon laquelle
si l’appareil de Stern et Gerlach C du spin 1 peut être divisé en deux parties, A et B, alors
χ | C | φ =
k
χ | B | kk | A | φ
où k = −, 0, + sont les états de base du spin 1.
242