71. Particules identiques
p 1 et p 2 s’approchent avec des vitesses égales ; après la collision, deux protons p
1 et p
2
quittent la collision à l’angle θ. Si l’on définit l’axe z comme étant perpendiculaire au
plan de la diffusion, chaque proton peut avoir J z (composante z du moment cinétique
de spin) égal à ±/2. On dit que le spin pointe en haut ou en bas. Supposons que les
deux protons pointent en haut, et que l’amplitude que p 1 soit diffusé dans un détecteur à
l’angle θ est f (θ). Puisque nous ne pouvons pas dire quel proton est détecté, l’amplitude
qu’un proton apparaisse à l’angle θ est f (θ) − f (π − θ). Le signe moins est là car les
protons sont des « fermions ». Nous pouvons dire que la probabilité qu’un proton soit
observé dans le détecteur est
| f (θ) − f (π − θ)|
2 .
Figure 71.2
Cible
d’hydrogène
Détecteur
Faisceau
de protons
p1
p2
p 1
p 2
α
θ
θ
Supposons maintenant que p 1 a le spin vers le haut et p 2 vers le bas, et que l’amplitude
que p 1 soit diffusé dans le détecteur sans changement de spin est f (θ) et que l’amplitude
qu’il soit diffusé avec changement de spin est g(θ) car l’amplitude de diffusion dépend
de l’orientation relative des spins. Dans ce cas, l’amplitude qu’un proton vers le haut
arrive dans le détecteur peut s’écrire f (θ) − g(π − θ).
(a) Quelle est la relation entre θ et α ?
(b) Quelle est l’amplitude du cas « haut-bas » qu’un proton soit diffusé dans le détecteur avec un spin vers le bas ?
(c) Supposons qu’un faisceau « naturel » de protons non polarisés est diffusé sur une
cible naturelle non polarisée, et que le détecteur ne peut pas distinguer les deux
états de polarisation. Quelle est la probabilité de diffusion à l’angle θ ?
(d) Montrer que si f = f et g = 0, la diffusion de protons de spins aléatoires est équivalente au mélange d’une diffusion de « fermions purs » pour lesquels l’amplitude
est f (θ)− f (π−θ) et de « bosons purs » pour lesquels l’amplitude est f (θ)+ f (π−θ),
P(θ) = A| f (θ) − f (π − θ)|
2
+ B| f (θ) + f (π − θ)|
2 .
(e) Trouver A et B dans la partie (d) ci-dessus.
Exercice 71.12 Supposons que N électrons sont dans une très grande boîte de volume V dans un état qui peut donner le moins d’énergie possible.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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p 1 et p 2 s’approchent avec des vitesses égales ; après la collision, deux protons p
1 et p
2
quittent la collision à l’angle θ. Si l’on définit l’axe z comme étant perpendiculaire au
plan de la diffusion, chaque proton peut avoir J z (composante z du moment cinétique
de spin) égal à ±/2. On dit que le spin pointe en haut ou en bas. Supposons que les
deux protons pointent en haut, et que l’amplitude que p 1 soit diffusé dans un détecteur à
l’angle θ est f (θ). Puisque nous ne pouvons pas dire quel proton est détecté, l’amplitude
qu’un proton apparaisse à l’angle θ est f (θ) − f (π − θ). Le signe moins est là car les
protons sont des « fermions ». Nous pouvons dire que la probabilité qu’un proton soit
observé dans le détecteur est
| f (θ) − f (π − θ)|
2 .
Figure 71.2
Cible
d’hydrogène
Détecteur
Faisceau
de protons
p1
p2
p 1
p 2
α
θ
θ
Supposons maintenant que p 1 a le spin vers le haut et p 2 vers le bas, et que l’amplitude
que p 1 soit diffusé dans le détecteur sans changement de spin est f (θ) et que l’amplitude
qu’il soit diffusé avec changement de spin est g(θ) car l’amplitude de diffusion dépend
de l’orientation relative des spins. Dans ce cas, l’amplitude qu’un proton vers le haut
arrive dans le détecteur peut s’écrire f (θ) − g(π − θ).
(a) Quelle est la relation entre θ et α ?
(b) Quelle est l’amplitude du cas « haut-bas » qu’un proton soit diffusé dans le détecteur avec un spin vers le bas ?
(c) Supposons qu’un faisceau « naturel » de protons non polarisés est diffusé sur une
cible naturelle non polarisée, et que le détecteur ne peut pas distinguer les deux
états de polarisation. Quelle est la probabilité de diffusion à l’angle θ ?
(d) Montrer que si f = f et g = 0, la diffusion de protons de spins aléatoires est équivalente au mélange d’une diffusion de « fermions purs » pour lesquels l’amplitude
est f (θ)− f (π−θ) et de « bosons purs » pour lesquels l’amplitude est f (θ)+ f (π−θ),
P(θ) = A| f (θ) − f (π − θ)|
2
+ B| f (θ) + f (π − θ)|
2 .
(e) Trouver A et B dans la partie (d) ci-dessus.
Exercice 71.12 Supposons que N électrons sont dans une très grande boîte de volume V dans un état qui peut donner le moins d’énergie possible.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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