70. Amplitudes de probabilité
Exercice 70.8 Curieusement, de grands effets d’interférences peuvent apparaître
même lorsqu’une des voies entrant en interférence est peu probable. Dans l’expérience
des deux fentes, si une des fentes est obstruée de façon que la probabilité de la traverser
est réduite d’un facteur 100, Montrer que la probabilité d’arriver sur un maximum de la
figure d’interférence est encore plus grande de 50 % que celle d’arriver sur un minimum.
Exercice 70.9 Le diamètre des étoiles les plus proches est trop « petit » pour être vu
avec les meilleurs télescopes (l’angle sous-tendu est plus petit que la résolution du télescope). Le premier à avoir mesuré le diamètre d’une étoile est Michelson, qui utilisait un
interféromètre optique. Cette méthode marche tout juste pour les étoiles les plus proches.
Dans Nature 178, 1046 (1956), Robert Hanbury Brown et Richard Twiss ont proposé une
nouvelle méthode, reposant sur la « corrélation d’intensité » pour de telles mesures, et
l’ont testée sur Sirius. Ils avaient deux réflecteurs paraboliques (d’anciens miroirs de
projecteurs) chacun muni d’un photomultiplicateur à son foyer. Les sorties des photomultiplicateurs étaient envoyées par des câbles coaxiaux à un circuit qui mesurait la
valeur moyenne du produit des deux courants (ce qu’on appelle un « corrélateur »). À
partir de la variation de ce produit avec la séparation des miroirs, ils déterminaient l’angle
sous-tendu par l’étoile.
À l’époque, beaucoup de physiciens ont dit que cette méthode ne pouvait pas marcher.
La raison mise en avant était que puisque la lumière venait de photons, ceux-ci allaient
soit sur un miroir soit sur l’autre, et il ne pouvait pas y avoir de corrélation entre les deux
courants.
On peut montrer que cet argument est faux en considérant l’expérience idéalisée suivante. Soit deux petites sources – des ampoules électriques – A et B, à très grande distance de deux photomultiplicateurs a et b avec la disposition géométrique montrée sur la
figure 70.4. Des compteurs sont attachés aux détecteurs a et b et mesurent le nombre de
photons par seconde p 1 et p 2 qui parviennent à chaque compteur. Les compteurs a et b
sont aussi reliés à un circuit de « coïncidence » qui mesure p 12 , le taux de comptage pour
l’apparition simultanée (dans un intervalle de temps très bref τ) de deux photo-électrons.
Figure 70.4
R
A
B
a
b
R1
R2
d
D
Soit a | A l’amplitude pour qu’un photon arrive en a depuis A dans n’importe quel
interval de temps. Alors a | A est égalà ce iα 1 où c est un nombre complexe et α 1 est k fois
la distance R 1 de A a. De même b | A = ce iα 2 avec α 2 = kR 2 où R 2 est la distance de A b.
(a) Montrer que le taux de comptage de coïncidence p 12 est proportionnel à
2 + cos 2k(R 2 − R 1 ).
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 70.8 Curieusement, de grands effets d’interférences peuvent apparaître
même lorsqu’une des voies entrant en interférence est peu probable. Dans l’expérience
des deux fentes, si une des fentes est obstruée de façon que la probabilité de la traverser
est réduite d’un facteur 100, Montrer que la probabilité d’arriver sur un maximum de la
figure d’interférence est encore plus grande de 50 % que celle d’arriver sur un minimum.
Exercice 70.9 Le diamètre des étoiles les plus proches est trop « petit » pour être vu
avec les meilleurs télescopes (l’angle sous-tendu est plus petit que la résolution du télescope). Le premier à avoir mesuré le diamètre d’une étoile est Michelson, qui utilisait un
interféromètre optique. Cette méthode marche tout juste pour les étoiles les plus proches.
Dans Nature 178, 1046 (1956), Robert Hanbury Brown et Richard Twiss ont proposé une
nouvelle méthode, reposant sur la « corrélation d’intensité » pour de telles mesures, et
l’ont testée sur Sirius. Ils avaient deux réflecteurs paraboliques (d’anciens miroirs de
projecteurs) chacun muni d’un photomultiplicateur à son foyer. Les sorties des photomultiplicateurs étaient envoyées par des câbles coaxiaux à un circuit qui mesurait la
valeur moyenne du produit des deux courants (ce qu’on appelle un « corrélateur »). À
partir de la variation de ce produit avec la séparation des miroirs, ils déterminaient l’angle
sous-tendu par l’étoile.
À l’époque, beaucoup de physiciens ont dit que cette méthode ne pouvait pas marcher.
La raison mise en avant était que puisque la lumière venait de photons, ceux-ci allaient
soit sur un miroir soit sur l’autre, et il ne pouvait pas y avoir de corrélation entre les deux
courants.
On peut montrer que cet argument est faux en considérant l’expérience idéalisée suivante. Soit deux petites sources – des ampoules électriques – A et B, à très grande distance de deux photomultiplicateurs a et b avec la disposition géométrique montrée sur la
figure 70.4. Des compteurs sont attachés aux détecteurs a et b et mesurent le nombre de
photons par seconde p 1 et p 2 qui parviennent à chaque compteur. Les compteurs a et b
sont aussi reliés à un circuit de « coïncidence » qui mesure p 12 , le taux de comptage pour
l’apparition simultanée (dans un intervalle de temps très bref τ) de deux photo-électrons.
Figure 70.4
R
A
B
a
b
R1
R2
d
D
Soit a | A l’amplitude pour qu’un photon arrive en a depuis A dans n’importe quel
interval de temps. Alors a | A est égalà ce iα 1 où c est un nombre complexe et α 1 est k fois
la distance R 1 de A a. De même b | A = ce iα 2 avec α 2 = kR 2 où R 2 est la distance de A b.
(a) Montrer que le taux de comptage de coïncidence p 12 est proportionnel à
2 + cos 2k(R 2 − R 1 ).
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