53. Solution des équations de Maxwell avec des courants et des charges
Exercice 53.3 À partir de la symétrie des équations de Maxwell et de la forme des
champs électrique et magnétique d’un dipôle oscillant 1 , déduire le champ d’un dipôle
magnétique oscillant. Le champ proche doit ressembler au champ créé par une petite
boucle de courant de rayon a (a c/ω) et de courant i = i 0 cos ωt.
Exercice 53.4 Dans l’exercice 53.2, un dipôle oscillant a été construit à partir de deux
charges en mouvement. Une autre façon de faire est la suivante : le dipôle est fait de
deux balles conductrices reliées par un fil de longueur d. On établit dans le fil un courant
oscillant qui donne une charge nette ±q(t) aux extrémités mais laisse le fil neutre ; q(t)
peut être représenté par Q 0 e iωt .
Figure 53.2
z
r1
r
r2
P
+ q( t )
− q( t )
θ
d
2
d
2
En n’importe quel point P, à la distance r d du dipôle, comme sur la figure 53.2,
l’intégrale du potentiel retardé donne une expression exacte pour φ,
φ =
Q 0
4ππ 0
cos ω(t − r 1 /c)
r 1
−
cos ω(t − r 2 /c)
r 2
.
(a) En supposant que ωd/2c 1 montrer que
φ ≈
Q 0 d cos θ
4ππ 0 r
1
r
cos ω(t − r/c) −
ω
c
sin ω(t − r/c)
.
(b) Montrer en outre que
A z ≈ −
Q 0 ωd sin ω(t − r/c)
4ππ 0 c 2 r
.
(c) Persuadez-vous que ces potentiels donnent les mêmes champs rayonnés électrique
et magnétique (la partie des champs qui est proportionnelle à 1/r) que ce qui a été
trouvé précédemment.
Exercice 53.5 Une antenne utilisée à la fréquence ω = 2πc/λ est faite de deux câbles
colinéaires chacun d’un quart de longueur d’onde de long. Elle est alimentée à leur
1. Le champ électrique d’un dipôle électrique oscillant a été donné dans l’exercice 53.2 ; le champ magnétique correspondant est obtenu en utilisant l’équation (21.1) du volume II : cB = e r × E.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
201
Exercice 53.3 À partir de la symétrie des équations de Maxwell et de la forme des
champs électrique et magnétique d’un dipôle oscillant 1 , déduire le champ d’un dipôle
magnétique oscillant. Le champ proche doit ressembler au champ créé par une petite
boucle de courant de rayon a (a c/ω) et de courant i = i 0 cos ωt.
Exercice 53.4 Dans l’exercice 53.2, un dipôle oscillant a été construit à partir de deux
charges en mouvement. Une autre façon de faire est la suivante : le dipôle est fait de
deux balles conductrices reliées par un fil de longueur d. On établit dans le fil un courant
oscillant qui donne une charge nette ±q(t) aux extrémités mais laisse le fil neutre ; q(t)
peut être représenté par Q 0 e iωt .
Figure 53.2
z
r1
r
r2
P
+ q( t )
− q( t )
θ
d
2
d
2
En n’importe quel point P, à la distance r d du dipôle, comme sur la figure 53.2,
l’intégrale du potentiel retardé donne une expression exacte pour φ,
φ =
Q 0
4ππ 0
cos ω(t − r 1 /c)
r 1
−
cos ω(t − r 2 /c)
r 2
.
(a) En supposant que ωd/2c 1 montrer que
φ ≈
Q 0 d cos θ
4ππ 0 r
1
r
cos ω(t − r/c) −
ω
c
sin ω(t − r/c)
.
(b) Montrer en outre que
A z ≈ −
Q 0 ωd sin ω(t − r/c)
4ππ 0 c 2 r
.
(c) Persuadez-vous que ces potentiels donnent les mêmes champs rayonnés électrique
et magnétique (la partie des champs qui est proportionnelle à 1/r) que ce qui a été
trouvé précédemment.
Exercice 53.5 Une antenne utilisée à la fréquence ω = 2πc/λ est faite de deux câbles
colinéaires chacun d’un quart de longueur d’onde de long. Elle est alimentée à leur
1. Le champ électrique d’un dipôle électrique oscillant a été donné dans l’exercice 53.2 ; le champ magnétique correspondant est obtenu en utilisant l’équation (21.1) du volume II : cB = e r × E.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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