52. Solution des équations de Maxwell dans le vide
(c) Quelle est la direction de la force ?
(d) De quelle façon (qualitativement) est-ce que la véritable force et le véritable couple
diffèrent de votre résultat, c’est-à-dire comment la self-inductance affecte le couple
et la force ?
(e) Expliquer ce qui se passerait dans les questions (a) et (b) ci-dessus si la boucle (2)
était tournée de 90 ◦ autour d’un axe perpendiculaire à l’axe commun des boucles.
52. SOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
DANS LE VIDE
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Chap. 20.
Exercice 52.1 Il est parfois commode de travailler avec des solutions complexes des
équations différentielles.
(a) Si l’on suppose que les champs varient de façon sinusoïdale dans le temps et dans la
variable d’espace x (pas de dépendance en y ou z), montrer que chaque composante
de, par exemple,
E = E 0 e
+i(ωt−kx) ,
satisfait l’équation d’ondes. (On se souviendra que le véritable champ s’obtient en
prenant la partie réelle de cette expression.)
(b) Persuadez-vous que la partie réelle de E correspond à une onde plane se propageant
le long de l’axe x. Dans quelle direction ?
(c) Montrer que l’opération ∇ appliquée à une fonction comme celle de la question (a)
devient
∇ = e x
∂
∂x
= e x (−ik),
où e x est un vecteur unitaire le long de l’axe x et que i est
√ −1 ; autrement dit,
nous pouvons remplacer l’opération ∇ par une simple multiplication.
(d) Quelle proposition semblable pouvez-vous faire à propos de la dérivée temporelle
d’une fonction comme celle de la partie (a) ?
(e) En utilisant les résultats précédents, écrire comment les équations de Maxwell se
présentent lorsqu’elles s’appliquent à des champs qui varient de façon sinusoïdale
en x et t. Quelle relation doit exister entre k et ω ?
(f) Si le champ a la forme E = E 0 e +i(ωt+kx) comment vos résultats sont-ils modifiés ?
Exercice 52.2 Une onde plane électromagnétique de fréquence ω est réfléchie par un
miroir qui se déplace à une vitesse v dans la même direction que l’onde.
(a) En utilisant les équations de Maxwell, calculer la fréquence ω de l’onde réfléchie
vue par un observateur au repos.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
199
(c) Quelle est la direction de la force ?
(d) De quelle façon (qualitativement) est-ce que la véritable force et le véritable couple
diffèrent de votre résultat, c’est-à-dire comment la self-inductance affecte le couple
et la force ?
(e) Expliquer ce qui se passerait dans les questions (a) et (b) ci-dessus si la boucle (2)
était tournée de 90 ◦ autour d’un axe perpendiculaire à l’axe commun des boucles.
52. SOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL
DANS LE VIDE
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Chap. 20.
Exercice 52.1 Il est parfois commode de travailler avec des solutions complexes des
équations différentielles.
(a) Si l’on suppose que les champs varient de façon sinusoïdale dans le temps et dans la
variable d’espace x (pas de dépendance en y ou z), montrer que chaque composante
de, par exemple,
E = E 0 e
+i(ωt−kx) ,
satisfait l’équation d’ondes. (On se souviendra que le véritable champ s’obtient en
prenant la partie réelle de cette expression.)
(b) Persuadez-vous que la partie réelle de E correspond à une onde plane se propageant
le long de l’axe x. Dans quelle direction ?
(c) Montrer que l’opération ∇ appliquée à une fonction comme celle de la question (a)
devient
∇ = e x
∂
∂x
= e x (−ik),
où e x est un vecteur unitaire le long de l’axe x et que i est
√ −1 ; autrement dit,
nous pouvons remplacer l’opération ∇ par une simple multiplication.
(d) Quelle proposition semblable pouvez-vous faire à propos de la dérivée temporelle
d’une fonction comme celle de la partie (a) ?
(e) En utilisant les résultats précédents, écrire comment les équations de Maxwell se
présentent lorsqu’elles s’appliquent à des champs qui varient de façon sinusoïdale
en x et t. Quelle relation doit exister entre k et ω ?
(f) Si le champ a la forme E = E 0 e +i(ωt+kx) comment vos résultats sont-ils modifiés ?
Exercice 52.2 Une onde plane électromagnétique de fréquence ω est réfléchie par un
miroir qui se déplace à une vitesse v dans la même direction que l’onde.
(a) En utilisant les équations de Maxwell, calculer la fréquence ω de l’onde réfléchie
vue par un observateur au repos.
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
199