50. Le potentiel vecteur
Exercice 49.6 Soit une sphère conductrice de rayon a qui est élevée à un potentiel V.
Si la sphère est mise en rotation autour d’un axe avec une vitesse angulaire ω, montrer
que le champ magnétique extérieur correspond à celui d’un dipôle de moment
μ = 0 ωV
4
3
πa
3
.
Montrer également que le champ à l’intérieur est donné par
B int =
2ωV
3c 2 .
Ces résultats sont exacts partout, à l’intérieur et à l’extérieur. Si vous ne pouvez pas
le démontrer, montrer le premier résultat pour des distances très supérieures à a, et le
second au centre.
Exercice 49.7 Il a été montré que la rotation de la Terre pourrait être mesurée en
mesurant la différence de potentiel entre le centre et le bord d’un cylindre conducteur
chargé placé au Pôle Nord, et dont l’axe serait dirigé vers le centre de la Terre.
(a) En supposant que le cylindre est très long par rapport à son rayon et que les mesures sont effectuées très près du centre, si bien que les effets de bord peuvent être
négligés, montrer que la différence de potentiel peut s’écrire sous la forme
V =
λ
4ππ 0
v
c
2
,
où v est la vitesse d’un point sur le bord externe du cylindre et λ la charge de surface
par unité de longueur.
(b) Voyez si vous pouvez imaginer des paramètres raisonnables pour un équipement
destiné à faire la mesure de cet effet.
Note : supposez que la plus petite différence de potentiel que l’on puisse mesurer est de
l’ordre de 10 −6 volts et que la grandeur maximum du champ électrique dans le vide est
environ de 10 8 volts par mètre.
50. LE POTENTIEL VECTEUR
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Chap. 15.
Exercice 50.1 Un métal supraconducteur a la propriété qu’en son intérieur, à la fois
B et E sont nuls.
(a) Pour le champ E nous avons vu que la condition aux limites sur la surface d’un
supraconducteur est que E doit être normal à la surface, ou encore que sa composante tangentielle doit être nulle. Quelle est la condition aux limites analogue pour
le champ magnétique B ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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Exercice 49.6 Soit une sphère conductrice de rayon a qui est élevée à un potentiel V.
Si la sphère est mise en rotation autour d’un axe avec une vitesse angulaire ω, montrer
que le champ magnétique extérieur correspond à celui d’un dipôle de moment
μ = 0 ωV
4
3
πa
3
.
Montrer également que le champ à l’intérieur est donné par
B int =
2ωV
3c 2 .
Ces résultats sont exacts partout, à l’intérieur et à l’extérieur. Si vous ne pouvez pas
le démontrer, montrer le premier résultat pour des distances très supérieures à a, et le
second au centre.
Exercice 49.7 Il a été montré que la rotation de la Terre pourrait être mesurée en
mesurant la différence de potentiel entre le centre et le bord d’un cylindre conducteur
chargé placé au Pôle Nord, et dont l’axe serait dirigé vers le centre de la Terre.
(a) En supposant que le cylindre est très long par rapport à son rayon et que les mesures sont effectuées très près du centre, si bien que les effets de bord peuvent être
négligés, montrer que la différence de potentiel peut s’écrire sous la forme
V =
λ
4ππ 0
v
c
2
,
où v est la vitesse d’un point sur le bord externe du cylindre et λ la charge de surface
par unité de longueur.
(b) Voyez si vous pouvez imaginer des paramètres raisonnables pour un équipement
destiné à faire la mesure de cet effet.
Note : supposez que la plus petite différence de potentiel que l’on puisse mesurer est de
l’ordre de 10 −6 volts et que la grandeur maximum du champ électrique dans le vide est
environ de 10 8 volts par mètre.
50. LE POTENTIEL VECTEUR
Se référer au Cours de Physique de Feynman, Électromagnétisme 1, Chap. 15.
Exercice 50.1 Un métal supraconducteur a la propriété qu’en son intérieur, à la fois
B et E sont nuls.
(a) Pour le champ E nous avons vu que la condition aux limites sur la surface d’un
supraconducteur est que E doit être normal à la surface, ou encore que sa composante tangentielle doit être nulle. Quelle est la condition aux limites analogue pour
le champ magnétique B ?
© Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.
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